ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2nq GIF version

Theorem 1lt2nq 6658
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
1lt2nq 1Q <Q (1Q +Q 1Q)

Proof of Theorem 1lt2nq
StepHypRef Expression
1 1lt2pi 6592 . . . . 5 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)
2 1pi 6567 . . . . . 6 1𝑜N
3 mulidpi 6570 . . . . . 6 (1𝑜N → (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜)
42, 3ax-mp 7 . . . . 5 (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜
54, 4oveq12i 5555 . . . . 5 ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) = (1𝑜 +N 1𝑜)
61, 4, 53brtr4i 3821 . . . 4 (1𝑜 ·N 1𝑜) <N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜))
7 mulclpi 6580 . . . . . 6 ((1𝑜N ∧ 1𝑜N) → (1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N)
82, 2, 7mp2an 417 . . . . 5 (1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N
9 addclpi 6579 . . . . . 6 (((1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N ∧ (1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N) → ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ∈ N)
108, 8, 9mp2an 417 . . . . 5 ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ∈ N
11 ltmpig 6591 . . . . 5 (((1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N ∧ ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ∈ N ∧ 1𝑜N) → ((1𝑜 ·N 1𝑜) <N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ↔ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)))))
128, 10, 2, 11mp3an 1269 . . . 4 ((1𝑜 ·N 1𝑜) <N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ↔ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜))))
136, 12mpbi 143 . . 3 (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)))
14 ordpipqqs 6626 . . . 4 (((1𝑜N ∧ 1𝑜N) ∧ (((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ∈ N ∧ (1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N)) → ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q ↔ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)))))
152, 2, 10, 8, 14mp4an 418 . . 3 ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q ↔ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜))))
1613, 15mpbir 144 . 2 [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q
17 df-1nqqs 6603 . 2 1Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q
1817, 17oveq12i 5555 . . 3 (1Q +Q 1Q) = ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
19 addpipqqs 6622 . . . 4 (((1𝑜N ∧ 1𝑜N) ∧ (1𝑜N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
202, 2, 2, 2, 19mp4an 418 . . 3 ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q
2118, 20eqtri 2102 . 2 (1Q +Q 1Q) = [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q
2216, 17, 213brtr4i 3821 1 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3409   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  1𝑜c1o 6058  [cec 6170  Ncnpi 6524   +N cpli 6525   ·N cmi 6526   <N clti 6527   ~Q ceq 6531  1Qc1q 6533   +Q cplq 6534   <Q cltq 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-1nqqs 6603  df-ltnqqs 6605
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6659
  Copyright terms: Public domain W3C validator