Theorem 1lt2pi 6628

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6181	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		nna0 6139	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜
4		0lt1o 6108	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
5		peano1 4364	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 6170	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1269	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
8	4, 7	mpbi 143	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
9	3, 8	eqeltrri 2156	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
10		1pi 6603	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
11		addpiord 6604	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
12	10, 10, 11	mp2an 417	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
13	9, 12	eleqtrri 2158	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)
14		addclpi 6615	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 417	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N
16		ltpiord 6607	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N) → (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)))
17	10, 15, 16	mp2an 417	. 2 ⊢ (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜))
18	13, 17	mpbir 144	1 ⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Syntax hints:   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∅c0 3268   class class class wbr 3806  ωcom 4360  (class class class)co 5564  1_𝑜c1o 6079   +_𝑜 coa 6083  Ncnpi 6560   +_N cpli 6561   <_N clti 6563

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-eprel 4073  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-irdg 6040  df-1o 6086  df-oadd 6090  df-ni 6592  df-pli 6593  df-lti 6595

This theorem is referenced by:  1lt2nq  6694