ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2pi GIF version

Theorem 1lt2pi 7116
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6384 . . . . 5 1o ∈ ω
2 nna0 6338 . . . . 5 (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1o +o ∅) = 1o
4 0lt1o 6305 . . . . 5 ∅ ∈ 1o
5 peano1 4478 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 nnaord 6373 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
75, 1, 1, 6mp3an 1300 . . . . 5 (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
84, 7mpbi 144 . . . 4 (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
93, 8eqeltrri 2191 . . 3 1o ∈ (1o +o 1o)
10 1pi 7091 . . . 4 1oN
11 addpiord 7092 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
1210, 10, 11mp2an 422 . . 3 (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
139, 12eleqtrri 2193 . 2 1o ∈ (1o +N 1o)
14 addclpi 7103 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) ∈ N)
1510, 10, 14mp2an 422 . . 3 (1o +N 1o) ∈ N
16 ltpiord 7095 . . 3 ((1oN ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
1710, 15, 16mp2an 422 . 2 (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
1813, 17mpbir 145 1 1o <N (1o +N 1o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  c0 3333   class class class wbr 3899  ωcom 4474  (class class class)co 5742  1oc1o 6274   +o coa 6278  Ncnpi 7048   +N cpli 7049   <N clti 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-ni 7080  df-pli 7081  df-lti 7083
This theorem is referenced by:  1lt2nq  7182
  Copyright terms: Public domain W3C validator