Theorem 1lt2pi 6495

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6123	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		nna0 6083	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜
4		0lt1o 6053	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
5		peano1 4344	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 6112	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1243	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
8	4, 7	mpbi 137	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
9	3, 8	eqeltrri 2127	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
10		1pi 6470	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
11		addpiord 6471	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
12	10, 10, 11	mp2an 410	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
13	9, 12	eleqtrri 2129	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)
14		addclpi 6482	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 410	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N
16		ltpiord 6474	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N) → (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)))
17	10, 15, 16	mp2an 410	. 2 ⊢ (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜))
18	13, 17	mpbir 138	1 ⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Syntax hints:   ↔ wb 102   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∅c0 3251   class class class wbr 3791  ωcom 4340  (class class class)co 5539  1_𝑜c1o 6024   +_𝑜 coa 6028  Ncnpi 6427   +_N cpli 6428   <_N clti 6430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-ni 6459  df-pli 6460  df-lti 6462

This theorem is referenced by:  1lt2nq  6561