Theorem 1p1times 7889

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1p1times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7706	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 2, 3	adddird 7784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
5		mulid2 7757	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
6	5, 5	oveq12d 5785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
7	4, 6	eqtrd 2170	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-mulcl 7711  ax-mulcom 7714  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-1rid 7720  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by:  eqneg  8485  2times  8841