ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1p1times GIF version

Theorem 1p1times 7207
Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1p1times (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7034 . . . 4 1 ∈ ℂ
21a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
42, 2, 3adddird 7109 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
5 mulid2 7082 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
65, 5oveq12d 5557 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
74, 6eqtrd 2088 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  cc 6944  1c1 6947   + caddc 6949   · cmul 6951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-mulcl 7039  ax-mulcom 7042  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-1rid 7048  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-iota 4894  df-fv 4937  df-ov 5542
This theorem is referenced by:  eqneg  7782  2times  8110
  Copyright terms: Public domain W3C validator