Theorem 1pi 6567

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1𝑜 ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6159	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		1n0 6080	. 2 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
3		elni 6560	. 2 ⊢ (1𝑜 ∈ N ↔ (1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 884	1 ⊢ 1𝑜 ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2246  ∅c0 3258  ωcom 4339  1_𝑜c1o 6058  Ncnpi 6524

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-int 3645  df-suc 4134  df-iom 4340  df-1o 6065  df-ni 6556

This theorem is referenced by:  mulidpi  6570  1lt2pi  6592  nlt1pig  6593  indpi  6594  1nq  6618  1qec  6640  mulidnq  6641  1lt2nq  6658  archnqq  6669  prarloclemarch  6670  prarloclemarch2  6671  nnnq  6674  ltnnnq  6675  nq0m0r  6708  nq0a0  6709  addpinq1  6716  nq02m  6717  prarloclemlt  6745  prarloclemlo  6746  prarloclemn  6751  prarloclemcalc  6754  nqprm  6794  caucvgprlemm  6920  caucvgprprlemml  6946  caucvgprprlemmu  6947  caucvgsrlemasr  7028  caucvgsr  7040  nntopi  7122