Theorem 1st0 6035

Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1st0	⊢ (1st ‘∅) = ∅

Proof of Theorem 1st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4050	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		1stvalg 6033	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (1st ‘∅) = ∪ dom {∅})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1st ‘∅) = ∪ dom {∅}
4		dmsn0 5001	. . 3 ⊢ dom {∅} = ∅
5	4	unieqi 3741	. 2 ⊢ ∪ dom {∅} = ∪ ∅
6		uni0 3758	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	3, 5, 6	3eqtri 2162	1 ⊢ (1st ‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681  ∅c0 3358  {csn 3522  ∪ cuni 3731  dom cdm 4534  ‘cfv 5118  1^st c1st 6029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-1st 6031

This theorem is referenced by:  0npr  7284