ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2ecoptocl GIF version

Theorem 2ecoptocl 6224
Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
2ecoptocl.1 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2ecoptocl.2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
2ecoptocl.3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
2ecoptocl.4 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
Assertion
Ref Expression
2ecoptocl ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝑆,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝜓(𝑧,𝑤)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2ecoptocl
StepHypRef Expression
1 2ecoptocl.1 . . 3 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2 2ecoptocl.3 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
32imbi2d 223 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴𝑆𝜓) ↔ (𝐴𝑆𝜒)))
4 2ecoptocl.2 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
54imbi2d 223 . . . . 5 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓)))
6 2ecoptocl.4 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
76ex 112 . . . . 5 ((𝑥𝐶𝑦𝐷) → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑))
81, 5, 7ecoptocl 6223 . . . 4 (𝐴𝑆 → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓))
98com12 30 . . 3 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝐴𝑆𝜓))
101, 3, 9ecoptocl 6223 . 2 (𝐵𝑆 → (𝐴𝑆𝜒))
1110impcom 120 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3405   × cxp 4370  [cec 6134   / cqs 6135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-cnv 4380  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-ec 6138  df-qs 6142
This theorem is referenced by:  3ecoptocl  6225  ecovcom  6243  ecovicom  6244  addclnq  6530  mulclnq  6531  nqtri3or  6551  ltexnqq  6563  addclnq0  6606  mulclnq0  6607  distrnq0  6614  mulcomnq0  6615  addassnq0  6617  addclsr  6895  mulclsr  6896  mulgt0sr  6919  aptisr  6920
  Copyright terms: Public domain W3C validator