ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2ecoptocl GIF version

Theorem 2ecoptocl 6281
Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
2ecoptocl.1 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2ecoptocl.2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
2ecoptocl.3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
2ecoptocl.4 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
Assertion
Ref Expression
2ecoptocl ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝑆,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝜓(𝑧,𝑤)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2ecoptocl
StepHypRef Expression
1 2ecoptocl.1 . . 3 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2 2ecoptocl.3 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
32imbi2d 228 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴𝑆𝜓) ↔ (𝐴𝑆𝜒)))
4 2ecoptocl.2 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
54imbi2d 228 . . . . 5 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓)))
6 2ecoptocl.4 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
76ex 113 . . . . 5 ((𝑥𝐶𝑦𝐷) → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑))
81, 5, 7ecoptocl 6280 . . . 4 (𝐴𝑆 → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓))
98com12 30 . . 3 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝐴𝑆𝜓))
101, 3, 9ecoptocl 6280 . 2 (𝐵𝑆 → (𝐴𝑆𝜒))
1110impcom 123 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3419   × cxp 4389  [cec 6191   / cqs 6192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-ec 6195  df-qs 6199
This theorem is referenced by:  3ecoptocl  6282  ecovcom  6300  ecovicom  6301  addclnq  6679  mulclnq  6680  nqtri3or  6700  ltexnqq  6712  addclnq0  6755  mulclnq0  6756  distrnq0  6763  mulcomnq0  6764  addassnq0  6766  addclsr  7044  mulclsr  7045  mulgt0sr  7068  aptisr  7069
  Copyright terms: Public domain W3C validator