Theorem 2eu7 1991

Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2eu7	⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ ∃!x∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ))

Proof of Theorem 2eu7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 1381	. . . 4 ⊢ (∃xφ → ∀x∃xφ)
2	1	hbeu 1918	. . 3 ⊢ (∃!y∃xφ → ∀x∃!y∃xφ)
3	2	euan 1953	. 2 ⊢ (∃!x(∃!y∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃!x∃yφ))
4		ancom 253	. . . . 5 ⊢ ((∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ (∃yφ ∧ ∃xφ))
5	4	eubii 1906	. . . 4 ⊢ (∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ ∃!y(∃yφ ∧ ∃xφ))
6		hbe1 1381	. . . . 5 ⊢ (∃yφ → ∀y∃yφ)
7	6	euan 1953	. . . 4 ⊢ (∃!y(∃yφ ∧ ∃xφ) ↔ (∃yφ ∧ ∃!y∃xφ))
8		ancom 253	. . . 4 ⊢ ((∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃yφ))
9	5, 7, 8	3bitri 195	. . 3 ⊢ (∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃yφ))
10	9	eubii 1906	. 2 ⊢ (∃!x∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ ∃!x(∃!y∃xφ ∧ ∃yφ))
11		ancom 253	. 2 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃!x∃yφ))
12	3, 10, 11	3bitr4ri 202	1 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ ∃!x∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∃wex 1378  ∃!weu 1897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901

This theorem is referenced by: (None)