Theorem 2eu7 1924

Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2eu7	⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ ∃!x∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ))

Proof of Theorem 2eu7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 1331	. . . 4 ⊢ (∃xφ → ∀x∃xφ)
2	1	hbeu 1852	. . 3 ⊢ (∃!y∃xφ → ∀x∃!y∃xφ)
3	2	euan 1886	. 2 ⊢ (∃!x(∃!y∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃!x∃yφ))
4		ancom 251	. . . . 5 ⊢ ((∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ (∃yφ ∧ ∃xφ))
5	4	eubii 1842	. . . 4 ⊢ (∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ ∃!y(∃yφ ∧ ∃xφ))
6		hbe1 1331	. . . . 5 ⊢ (∃yφ → ∀y∃yφ)
7	6	euan 1886	. . . 4 ⊢ (∃!y(∃yφ ∧ ∃xφ) ↔ (∃yφ ∧ ∃!y∃xφ))
8		ancom 251	. . . 4 ⊢ ((∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃yφ))
9	5, 7, 8	3bitri 193	. . 3 ⊢ (∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃yφ))
10	9	eubii 1842	. 2 ⊢ (∃!x∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ) ↔ ∃!x(∃!y∃xφ ∧ ∃yφ))
11		ancom 251	. 2 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃!x∃yφ))
12	3, 10, 11	3bitr4ri 200	1 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ ∃!x∃!y(∃xφ ∧ ∃yφ))

Syntax hints:   ∧ wa 95   ↔ wb 96  ∃wex 1328  ∃!weu 1833

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 97  ax-ia2 98  ax-ia3 99  ax-io 612  ax-5 1282  ax-7 1283  ax-gen 1284  ax-ie1 1329  ax-ie2 1330  ax-8 1344  ax-10 1345  ax-11 1346  ax-i12 1347  ax-bnd 1348  ax-4 1349  ax-17 1367  ax-i9 1371  ax-ial 1376  ax-i5r 1377

This theorem depends on definitions:  df-bi 108  df-tru 1204  df-nf 1296  df-sb 1586  df-eu 1836  df-mo 1837