Theorem 2shfti 10603

Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
2shfti	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 10593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3	2	breqd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4	3	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
5		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simplr 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 8073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		vex 2689	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		eleq1 2202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ))
10		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑧 − 𝐴) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
11	10	breq1d 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
12	9, 11	anbi12d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
13		breq2 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
14	13	anbi2d 459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
15		eqid 2139	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}
16	12, 14, 15	brabg 4191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
17	7, 8, 16	sylancl 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
18	4, 17	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
19		subcl 7961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
20	19	biantrurd 303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
21	20	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
22	21	adantll 467	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
23		sub32 7996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴))
24		subsub4 7995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
25	23, 24	eqtr3d 2174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
26	25	3expb 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
27	26	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
28	27	breq1d 3939	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥 − 𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
29	18, 22, 28	3bitr2d 215	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
30	29	pm5.32da 447	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
31	30	opabbidv 3994	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
32		ovshftex 10591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)
33	1, 32	mpan 420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)
34		shftfvalg 10590	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹 shift 𝐴) ∈ V) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
35	33, 34	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
36	35	ancoms 266	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
37		addcl 7745	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
38	1	shftfval 10593	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
39	37, 38	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
40	31, 36, 39	3eqtr4d 2182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  {copab 3988  (class class class)co 5774  ℂcc 7618   + caddc 7623   − cmin 7933   shift cshi 10586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-shft 10587

This theorem is referenced by:  shftcan1  10606