ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 GIF version

Theorem 2tnp1ge0ge0 9216
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 8300 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
21a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3 id 19 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zmulcld 8395 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
54peano2zd 8392 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
65zred 8389 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7 2re 8030 . . . 4 2 ∈ ℝ
87a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 8051 . . . 4 0 < 2
109a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
11 ge0div 7882 . . 3 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
126, 8, 10, 11syl3anc 1144 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
134zcnd 8390 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
14 1cnd 7071 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
15 2cn 8031 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
16 2ap0 8053 . . . . . . 7 2 # 0
1715, 16pm3.2i 261 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
1817a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
19 divdirap 7718 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
2013, 14, 18, 19syl3anc 1144 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
21 zcn 8277 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 2cnd 8033 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
2316a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
2421, 22, 23divcanap3d 7815 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
2524oveq1d 5552 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
2620, 25eqtrd 2086 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
2726breq2d 3801 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
28 zre 8276 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29 halfre 8165 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
3029a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
3128, 30readdcld 7084 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
32 halfge0 8168 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
3328, 30addge01d 7568 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
3432, 33mpbii 140 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
35 1red 7070 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
36 halflt1 8169 . . . . 5 (1 / 2) < 1
3736a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
3830, 35, 28, 37ltadd2dd 7461 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
39 btwnzge0 9215 . . 3 ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
4031, 3, 34, 38, 39syl22anc 1145 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
4112, 27, 403bitrd 207 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  cc 6915  cr 6916  0cc0 6917  1c1 6918   + caddc 6920   · cmul 6922   < clt 7089  cle 7090   # cap 7616   / cdiv 7695  2c2 8010  cz 8272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-mulrcl 7011  ax-addcom 7012  ax-mulcom 7013  ax-addass 7014  ax-mulass 7015  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-1rid 7019  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-precex 7022  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-apti 7027  ax-pre-ltadd 7028  ax-pre-mulgt0 7029  ax-pre-mulext 7030
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rmo 2329  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-reap 7610  df-ap 7617  df-div 7696  df-inn 7961  df-2 8019  df-n0 8210  df-z 8273
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  10155
  Copyright terms: Public domain W3C validator