Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2tp1odd GIF version

Theorem 2tp1odd 10509
 Description: A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tp1odd ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem 2tp1odd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
2 oveq2 5572 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝐴))
32oveq1d 5579 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
43eqeq1d 2091 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
54adantl 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = 𝐴) → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
6 eqidd 2084 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
71, 5, 6rspcedvd 2716 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
8 2z 8530 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
98a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
109, 1zmulcld 8626 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
1110peano2zd 8623 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ)
12 odd2np1 10498 . . . . 5 (((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
1311, 12syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
147, 13mpbird 165 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
1514adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
16 breq2 3809 . . 3 (𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
1716adantl 271 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
1815, 17mtbird 631 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564  1c1 7114   + caddc 7116   · cmul 7118  2c2 8226  ℤcz 8502   ∥ cdvds 10421 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-n0 8426  df-z 8503  df-dvds 10422 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator