Theorem 3brtr4d 3955

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 3937	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   class class class wbr 3924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5721  prarloclemarch2  7220  caucvgprprlemmu  7496  caucvgsrlembound  7595  mulap0  8408  lediv12a  8645  recp1lt1  8650  xleadd1a  9649  fldiv4p1lem1div2  10071  intfracq  10086  modqmulnn  10108  addmodlteq  10164  frecfzennn  10192  monoord2  10243  expgt1  10324  leexp2r  10340  leexp1a  10341  bernneq  10405  faclbnd  10480  faclbnd6  10483  facubnd  10484  hashunlem  10543  zfz1isolemiso  10575  sqrtgt0  10799  absrele  10848  absimle  10849  abstri  10869  abs2difabs  10873  bdtrilem  11003  bdtri  11004  xrmaxifle  11008  xrmaxadd  11023  xrbdtri  11038  climsqz  11097  climsqz2  11098  fsum3cvg2  11156  isumle  11257  expcnvap0  11264  expcnvre  11265  explecnv  11267  cvgratz  11294  efcllemp  11353  ege2le3  11366  eflegeo  11397  cos12dec  11463  phibnd  11882  psmetres2  12491  xmetres2  12537  comet  12657  bdxmet  12659  cnmet  12688  ivthdec  12780  limcimolemlt  12791  tangtx  12908  cvgcmp2nlemabs  13216  trilpolemlt1  13223