Theorem 3halfnz 9148

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9080	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		2cn 8791	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	mulid2i 7769	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
4		2lt3 8890	. . . 4 ⊢ 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 3949	. . 3 ⊢ (1 · 2) < 3
6		1re 7765	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		3re 8794	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
8		2re 8790	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2pos 8811	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 270	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11		ltmuldiv 8632	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1315	. . 3 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
13	5, 12	mpbi 144	. 2 ⊢ 1 < (3 / 2)
14		3lt4 8892	. . . 4 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 8874	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
16	15	breq2i 3937	. . . 4 ⊢ (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
17	14, 16	mpbir 145	. . 3 ⊢ 3 < (2 · 2)
18		1p1e2 8837	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
19	18	breq2i 3937	. . . 4 ⊢ ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20		ltdivmul 8634	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1315	. . . 4 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
22	19, 21	bitri 183	. . 3 ⊢ ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
23	17, 22	mpbir 145	. 2 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
24		btwnnz 9145	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1315	1 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   / cdiv 8432  2c2 8771  3c3 8772  4c4 8773  ℤcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  11602