ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3halfnz GIF version

Theorem 3halfnz 8577
Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
3halfnz ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz
StepHypRef Expression
1 1z 8510 . 2 1 ∈ ℤ
2 2cn 8229 . . . . 5 2 ∈ ℂ
32mulid2i 7236 . . . 4 (1 · 2) = 2
4 2lt3 8321 . . . 4 2 < 3
53, 4eqbrtri 3824 . . 3 (1 · 2) < 3
6 1re 7232 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 3re 8232 . . . 4 3 ∈ ℝ
8 2re 8228 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 2pos 8249 . . . . 5 0 < 2
108, 9pm3.2i 266 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11 ltmuldiv 8071 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
126, 7, 10, 11mp3an 1269 . . 3 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
135, 12mpbi 143 . 2 1 < (3 / 2)
14 3lt4 8323 . . . 4 3 < 4
15 2t2e4 8305 . . . . 5 (2 · 2) = 4
1615breq2i 3813 . . . 4 (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
1714, 16mpbir 144 . . 3 3 < (2 · 2)
18 1p1e2 8274 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1918breq2i 3813 . . . 4 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20 ltdivmul 8073 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
217, 8, 10, 20mp3an 1269 . . . 4 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2219, 21bitri 182 . . 3 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
2317, 22mpbir 144 . 2 (3 / 2) < (1 + 1)
24 btwnnz 8574 . 2 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
251, 13, 23, 24mp3an 1269 1 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cr 7094  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098   · cmul 7100   < clt 7267   / cdiv 7879  2c2 8208  3c3 8209  4c4 8210  cz 8484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485
This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  10512
  Copyright terms: Public domain W3C validator