ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 10659
Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 8217 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 8213 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7222 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 8497 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 8496 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 10645 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 8446 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 417 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 266 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 8234 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2251 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 872 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 10545 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 8156 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 417 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 417 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 8173 . . . . 5 (3 gcd 2) ≠ 0
1816nnzi 8489 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℤ
19 0z 8479 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
20 zapne 8539 . . . . . 6 (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
2118, 19, 20mp2an 417 . . . . 5 ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
2217, 21mpbir 144 . . . 4 (3 gcd 2) # 0
2315, 22pm3.2i 266 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24 3nn 8297 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
25 2nn 8296 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2624, 25pm3.2i 266 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27 lcmgcdnn 10655 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2827eqcomd 2088 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2926, 28mp1i 10 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30 divmulap3 7868 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
3129, 30mpbird 165 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
3231eqcomd 2088 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
333, 8, 23, 32mp3an 1269 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34 gcdcom 10556 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
354, 5, 34mp2an 417 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36 1z 8494 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
37 gcdid 10568 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3836, 37ax-mp 7 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
39 abs1 10143 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
4038, 39eqtr2i 2104 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
41 gcdadd 10567 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
4236, 36, 41mp2an 417 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43 1p1e2 8258 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4443oveq2i 5575 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4540, 42, 443eqtri 2107 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
46 gcdcom 10556 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4736, 5, 46mp2an 417 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48 gcdadd 10567 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
495, 36, 48mp2an 417 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
5045, 47, 493eqtri 2107 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
51 1p2e3 8269 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
5251oveq2i 5575 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
5350, 52eqtr2i 2104 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
5435, 53eqtri 2103 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5554oveq2i 5575 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56 3t2e6 8291 . . . 4 (3 · 2) = 6
5756oveq1i 5574 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58 6cn 8224 . . . 4 6 ∈ ℂ
5958div1i 7931 . . 3 (6 / 1) = 6
6057, 59eqtri 2103 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
6133, 55, 603eqtri 2107 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3806  cfv 4953  (class class class)co 5564  cc 7077  0cc0 7079  1c1 7080   + caddc 7082   · cmul 7084   # cap 7784   / cdiv 7863  cn 8142  2c2 8192  3c3 8193  6c6 8196  cz 8468  abscabs 10068   gcd cgcd 10529   lcm clcm 10633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-isom 4962  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-sup 6492  df-inf 6493  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-5 8204  df-6 8205  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-q 8822  df-rp 8852  df-fz 9142  df-fzo 9266  df-fl 9388  df-mod 9441  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070  df-dvds 10388  df-gcd 10530  df-lcm 10634
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator