Theorem 3prm 11798

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	⊢ 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9076	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		1lt3 8884	. . 3 ⊢ 1 < 3
3		eluz2b1 9388	. . 3 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
4	1, 2, 3	mpbir2an 926	. 2 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
5		elfz1eq 9808	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6		2z 9075	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		iddvds 11495	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
8		2nn 8874	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		1lt2 8882	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
10		ndvdsp1 11618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1)))
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1315	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1))
12	6, 7, 11	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2 ∥ (2 + 1)
13		df-3 8773	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	breq2i 3932	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (2 + 1))
15	12, 14	mtbir 660	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
16		breq1 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
17	15, 16	mtbiri 664	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
18	5, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
19		3m1e2 8833	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
20	19	oveq2i 5778	. . . 4 ⊢ (2...(3 − 1)) = (2...2)
21	18, 20	eleq2s 2232	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
22	21	rgen 2483	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
23		isprm3 11788	. 2 ⊢ (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
24	4, 22, 23	mpbir2an 926	1 ⊢ 3 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793   − cmin 7926  ℕcn 8713  2c2 8764  3c3 8765  ℤcz 9047  ℤ_≥cuz 9319  ...cfz 9783   ∥ cdvds 11482  ℙcprime 11777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-2o 6307  df-er 6422  df-en 6628  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483  df-prm 11778

This theorem is referenced by:  3lcm2e6  11827