ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 GIF version

Theorem 4bc2eq6 10513
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 9058 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 9077 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 9075 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1159 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 8803 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 8783 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 8790 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 8886 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 7859 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 270 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 9792 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 422 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 10489 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 5 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 8988 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 10469 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 8774 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 5417 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 5778 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2168 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 8791 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 8784 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 8840 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 8044 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 5417 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 10470 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2158 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 5779 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 8867 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2158 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 5779 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 10474 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 8723 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ap0 8812 . . . . 5 4 # 0
3735, 22, 36divcanap4i 8512 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 10471 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2158 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2158 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2158 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3924  cfv 5118  (class class class)co 5767  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618  cle 7794  cmin 7926   / cdiv 8425  cn 8713  2c2 8764  3c3 8765  4c4 8766  6c6 8768  0cn0 8970  cz 9047  ...cfz 9783  !cfa 10464  Ccbc 10486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-fz 9784  df-seqfrec 10212  df-fac 10465  df-bc 10487
This theorem is referenced by:  ex-bc  12930
  Copyright terms: Public domain W3C validator