ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 GIF version

Theorem 4bc2eq6 9642
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 8313 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 8332 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 8330 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1093 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 8080 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 8060 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 8067 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 8156 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 7179 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 261 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 8985 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 410 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 9618 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 7 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 8257 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 9598 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 7 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 8051 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 5209 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 5551 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2086 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 8068 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 8061 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 8110 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 7363 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 5209 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 9599 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2076 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 5552 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 8137 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2076 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 5552 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 9603 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 7 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 8000 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ap0 8089 . . . . 5 4 # 0
3735, 22, 36divcanap4i 7810 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 9600 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2076 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2076 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2076 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952  cle 7120  cmin 7245   / cdiv 7725  cn 7990  2c2 8040  3c3 8041  4c4 8042  6c6 8044  0cn0 8239  cz 8302  ...cfz 8976  !cfa 9593  Ccbc 9615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-5 8052  df-6 8053  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-fz 8977  df-iseq 9376  df-fac 9594  df-bc 9616
This theorem is referenced by:  ex-bc  10282
  Copyright terms: Public domain W3C validator