Theorem 4nn 8883

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 8781	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 8882	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 8732	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2212	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  1c1 7621   + caddc 7623  ℕcn 8720  3c3 8772  4c4 8773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781

This theorem is referenced by:  5nn  8884  4nn0  8996  4z  9084  fldiv4p1lem1div2  10078  iexpcyc  10397  resqrexlemnmsq  10789  ef01bndlem  11463  flodddiv4  11631  flodddiv4t2lthalf  11634  6lcm4e12  11768  starvndx  12078  starvid  12079  starvslid  12080  srngstrd  12081  dveflem  12855  tan4thpi  12922