Theorem 4onn 6162

Description: The ordinal 4 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
4onn	⊢ 4𝑜 ∈ ω

Proof of Theorem 4onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4o 6068	. 2 ⊢ 4𝑜 = suc 3𝑜
2		3onn 6161	. . 3 ⊢ 3𝑜 ∈ ω
3		peano2 4344	. . 3 ⊢ (3𝑜 ∈ ω → suc 3𝑜 ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ suc 3𝑜 ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2152	1 ⊢ 4𝑜 ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1434  suc csuc 4128  ωcom 4339  3_𝑜c3o 6060  4_𝑜c4o 6061

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-int 3645  df-suc 4134  df-iom 4340  df-1o 6065  df-2o 6066  df-3o 6067  df-4o 6068

This theorem is referenced by: (None)