ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  8th4div3 GIF version

Theorem 8th4div3 8142
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 6975 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 8re 7998 . . . . 5 8 ∈ ℝ
32recni 7037 . . . 4 8 ∈ ℂ
4 4cn 7991 . . . 4 4 ∈ ℂ
5 3cn 7988 . . . 4 3 ∈ ℂ
6 8pos 8017 . . . . 5 0 < 8
72, 6gt0ap0ii 7616 . . . 4 8 # 0
8 3re 7987 . . . . 5 3 ∈ ℝ
9 3pos 8008 . . . . 5 0 < 3
108, 9gt0ap0ii 7616 . . . 4 3 # 0
111, 3, 4, 5, 7, 10divmuldivapi 7746 . . 3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
121, 4mulcomi 7031 . . . 4 (1 · 4) = (4 · 1)
13 2cn 7984 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
144, 13, 5mul32i 7158 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15 4t2e8 8071 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
1615oveq1i 5522 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
1714, 16eqtr3i 2062 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
184, 5, 13mulassi 7034 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
1917, 18eqtr3i 2062 . . . . 5 (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20 3t2e6 8069 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2120oveq2i 5523 . . . . 5 (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
2219, 21eqtri 2060 . . . 4 (8 · 3) = (4 · 6)
2312, 22oveq12i 5524 . . 3 ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
2411, 23eqtri 2060 . 2 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25 6re 7994 . . . 4 6 ∈ ℝ
2625recni 7037 . . 3 6 ∈ ℂ
27 6pos 8015 . . . 4 0 < 6
2825, 27gt0ap0ii 7616 . . 3 6 # 0
29 4re 7990 . . . 4 4 ∈ ℝ
30 4pos 8011 . . . 4 0 < 4
3129, 30gt0ap0ii 7616 . . 3 4 # 0
32 divcanap5 7688 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
331, 32mp3an1 1219 . . 3 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
3426, 28, 4, 31, 33mp4an 403 . 2 ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
3524, 34eqtri 2060 1 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cc 6885  0cc0 6887  1c1 6888   · cmul 6892   # cap 7570   / cdiv 7649  2c2 7962  3c3 7963  4c4 7964  6c6 7966  8c8 7968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-5 7974  df-6 7975  df-7 7976  df-8 7977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator