Theorem 9p1e10 8560

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 8559	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 8267	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 8117	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 8126	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 417	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 8116	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 7183	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5553	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 7317	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2107	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5543  0cc0 7043  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048  ℕcn 8106  9c9 8163  ;cdc 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-cnre 7149

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-5 8168  df-6 8169  df-7 8170  df-8 8171  df-9 8172  df-dec 8559

This theorem is referenced by:  dfdec10  8561  10nn  8573  le9lt10  8584  decsucc  8598  5p5e10  8628  6p4e10  8629  7p3e10  8632  8p2e10  8637  9p2e11  8644  10m1e9  8653  9lt10  8688  sq10e99m1  9738  3dvdsdec  10409  3dvds2dec  10410