Theorem 9p1e10 9184

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9183	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 8888	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 8731	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 8740	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 8730	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 7768	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5784	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 7904	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2165	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625  ℕcn 8720  9c9 8778  ;cdc 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-dec 9183

This theorem is referenced by:  dfdec10  9185  10nn  9197  le9lt10  9208  decsucc  9222  5p5e10  9252  6p4e10  9253  7p3e10  9256  8p2e10  9261  9p2e11  9268  10m1e9  9277  9lt10  9312  sq10e99m1  10460  3dvdsdec  11562  3dvds2dec  11563