ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abexssex GIF version

Theorem abexssex 5779
Description: Existence of a class abstraction with an existentially quantified expression. Both 𝑥 and 𝑦 can be free in 𝜑. (Contributed by NM, 29-Jul-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
abrexex2.1 𝐴 ∈ V
abrexex2.2 {𝑦𝜑} ∈ V
Assertion
Ref Expression
abexssex {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑)} ∈ V
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem abexssex
StepHypRef Expression
1 df-rex 2329 . . . 4 (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑))
2 selpw 3393 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
32anbi1i 439 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑) ↔ (𝑥𝐴𝜑))
43exbii 1512 . . . 4 (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
51, 4bitri 177 . . 3 (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
65abbii 2169 . 2 {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑} = {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑)}
7 abrexex2.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
87pwex 3959 . . 3 𝒫 𝐴 ∈ V
9 abrexex2.2 . . 3 {𝑦𝜑} ∈ V
108, 9abrexex2 5778 . 2 {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑} ∈ V
116, 10eqeltrri 2127 1 {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑)} ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wex 1397  wcel 1409  {cab 2042  wrex 2324  Vcvv 2574  wss 2944  𝒫 cpw 3386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator