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Theorem absexp 10184
Description: Absolute value of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
absexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5572 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
21fveq2d 5234 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴↑0)))
3 oveq2 5572 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑0))
42, 3eqeq12d 2097 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0)))
54imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))))
6 oveq2 5572 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
76fveq2d 5234 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
8 oveq2 5572 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2097 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
109imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
11 oveq2 5572 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1211fveq2d 5234 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 5572 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2097 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5572 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1716fveq2d 5234 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴𝑁)))
18 oveq2 5572 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2097 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
2019imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))))
21 abs1 10177 . . . 4 (abs‘1) = 1
22 exp0 9647 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2322fveq2d 5234 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = (abs‘1))
24 abscl 10156 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 7279 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
2625exp0d 9766 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑0) = 1)
2721, 23, 263eqtr4a 2141 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))
28 oveq1 5571 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
2928adantl 271 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
30 expp1 9650 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3130fveq2d 5234 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)))
32 expcl 9661 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
33 simpl 107 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 absmul 10174 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3532, 33, 34syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3631, 35eqtrd 2115 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3736adantr 270 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
38 expp1 9650 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
3925, 38sylan 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
4039adantr 270 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
4129, 37, 403eqtr4d 2125 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4241exp31 356 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4342com12 30 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4443a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
455, 10, 15, 20, 27, 44nn0ind 8612 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
4645impcom 123 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  cfv 4952  (class class class)co 5564  cc 7111  0cc0 7113  1c1 7114   + caddc 7116   · cmul 7118  0cn0 8425  cexp 9642  abscabs 10102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227  ax-caucvg 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-rp 8886  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104
This theorem is referenced by:  absexpzap  10185  abssq  10186  sqabs  10187  absexpd  10297
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