Theorem absval 10766

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Proof of Theorem absval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsqrt 10763	. . . 4 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦)))
2		reex 7747	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	mptex 5639	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦))) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2210	. . 3 ⊢ √ ∈ V
5		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		cjcl 10613	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 7779	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
8		fvexg 5433	. . 3 ⊢ ((√ ∈ V ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
9	4, 7, 8	sylancr 410	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
10		fveq2 5414	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
11		oveq12 5776	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	mpdan 417	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
13	12	fveq2d 5418	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
14		df-abs 10764	. . 3 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
15	13, 14	fvmptg 5490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
16	9, 15	mpdan 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   class class class wbr 3924   ↦ cmpt 3984  ‘cfv 5118  ℩crio 5722  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613   · cmul 7618   ≤ cle 7794  2c2 8764  ↑cexp 10285  ∗ccj 10604  √csqrt 10761  abscabs 10762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-cj 10607  df-rsqrt 10763  df-abs 10764

This theorem is referenced by:  absneg  10815  abscl  10816  abscj  10817  absvalsq  10818  absval2  10822  abs0  10823  absi  10824  absge0  10825  absrpclap  10826  absmul  10834  absid  10836  absre  10842  absf  10875