ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  add4 GIF version

Theorem add4 7891
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by NM, 13-Nov-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
add4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem add4
StepHypRef Expression
1 add12 7888 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + (𝐵 + 𝐷)))
213expb 1167 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + (𝐵 + 𝐷)))
32oveq2d 5758 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
43adantll 467 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
5 addcl 7713 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
6 addass 7718 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
763expa 1166 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
85, 7sylan2 284 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
9 addcl 7713 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ)
10 addass 7718 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
11103expa 1166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
129, 11sylan2 284 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
1312an4s 562 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
144, 8, 133eqtr4d 2160 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  (class class class)co 5742  cc 7586   + caddc 7591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-addcl 7684  ax-addcom 7688  ax-addass 7690
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745
This theorem is referenced by:  add42  7892  add4i  7895  add4d  7899  3dvds2dec  11490  opoe  11519  ptolemy  12832
  Copyright terms: Public domain W3C validator