Theorem add4i 7340

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
add.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
add.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
add.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
add4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
add4i	⊢ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷))

Proof of Theorem add4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		add.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		add.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		add.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		add4.4	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
5		add4 7336	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	mp4an 418	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5543  ℂcc 7041   + caddc 7046

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-addcl 7134  ax-addcom 7138  ax-addass 7140

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546

This theorem is referenced by:  add42i  7341  negdii  7459  numma  8601