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 Description: Addition of non-negaative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6580 . . . 4 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2 oveq2 5547 . . . . . . 7 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
32oveq1d 5554 . . . . . 6 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
4 oveq1 5546 . . . . . . 7 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
54oveq2d 5555 . . . . . 6 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
63, 5eqeq12d 2070 . . . . 5 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
76imbi2d 223 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴Q0 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
8 oveq2 5547 . . . . . 6 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶))
9 oveq2 5547 . . . . . . 7 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 𝐶))
109oveq2d 5555 . . . . . 6 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))
118, 10eqeq12d 2070 . . . . 5 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
1211imbi2d 223 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))))
13 oveq1 5546 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
1413oveq1d 5554 . . . . . . . 8 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
15 oveq1 5546 . . . . . . . 8 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
1614, 15eqeq12d 2070 . . . . . . 7 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
1716imbi2d 223 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
18 simp1l 939 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑥 ∈ ω)
19 simp2r 942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑤N)
20 pinn 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑤 ∈ ω)
22 simp3r 944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑢N)
23 pinn 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢N𝑢 ∈ ω)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑢 ∈ ω)
25 nnmcl 6090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑤 ·𝑜 𝑢) ∈ ω)
2621, 24, 25syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑤 ·𝑜 𝑢) ∈ ω)
27 nnmcl 6090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑤 ·𝑜 𝑢) ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) ∈ ω)
2818, 26, 27syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) ∈ ω)
29 simp1r 940 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑦N)
30 pinn 6464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑦 ∈ ω)
32 simp2l 941 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑧 ∈ ω)
33 nnmcl 6090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑧 ·𝑜 𝑢) ∈ ω)
3432, 24, 33syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑧 ·𝑜 𝑢) ∈ ω)
35 nnmcl 6090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑧 ·𝑜 𝑢) ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢)) ∈ ω)
3631, 34, 35syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢)) ∈ ω)
37 simp3l 943 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑣 ∈ ω)
38 nnmcl 6090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑤 ·𝑜 𝑣) ∈ ω)
3921, 37, 38syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑤 ·𝑜 𝑣) ∈ ω)
40 nnmcl 6090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑤 ·𝑜 𝑣) ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)) ∈ ω)
4131, 39, 40syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)) ∈ ω)
42 nnaass 6094 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)) ∈ ω) → (((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢))) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣))) = ((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))))
4328, 36, 41, 42syl3anc 1146 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢))) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣))) = ((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))))
44 nnmcom 6098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·𝑜 𝑔) = (𝑔 ·𝑜 𝑓))
4544adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·𝑜 𝑔) = (𝑔 ·𝑜 𝑓))
46 nndir 6099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) ·𝑜 ) = ((𝑓 ·𝑜 ) +𝑜 (𝑔 ·𝑜 )))
4746adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω)) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) ·𝑜 ) = ((𝑓 ·𝑜 ) +𝑜 (𝑔 ·𝑜 )))
48 nnmass 6096 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω) → ((𝑓 ·𝑜 𝑔) ·𝑜 ) = (𝑓 ·𝑜 (𝑔 ·𝑜 )))
4948adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω)) → ((𝑓 ·𝑜 𝑔) ·𝑜 ) = (𝑓 ·𝑜 (𝑔 ·𝑜 )))
50 nnmcl 6090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·𝑜 𝑔) ∈ ω)
5150adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·𝑜 𝑔) ∈ ω)
5245, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24caovdilemd 5719 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) = ((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢))))
53 nnmass 6096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣) = (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))
5431, 21, 37, 53syl3anc 1146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣) = (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))
5552, 54oveq12d 5557 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)) = (((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢))) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣))))
56 nndi 6095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑧 ·𝑜 𝑢) ∈ ω ∧ (𝑤 ·𝑜 𝑣) ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣))) = ((𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣))))
5731, 34, 39, 56syl3anc 1146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣))) = ((𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣))))
5857oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))) = ((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 (𝑧 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))))
5943, 55, 583eqtr4d 2098 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)) = ((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))))
60 nnmass 6096 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢) = (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)))
6131, 21, 24, 60syl3anc 1146 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢) = (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)))
62 opeq12 3578 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)) = ((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))) ∧ ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢) = (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))) → ⟨((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)), ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢)⟩ = ⟨((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))), (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))⟩)
6362eceq1d 6172 . . . . . . . . 9 ((((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)) = ((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))) ∧ ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢) = (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))) → [⟨((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)), ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))), (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))⟩] ~Q0 )
6459, 61, 63syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → [⟨((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)), ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))), (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))⟩] ~Q0 )
65 addnnnq0 6604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
6665oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
6766adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
68 addassnq0lemcl 6616 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N))
69 addnnnq0 6604 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)), ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 )
7068, 69sylan 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)), ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 )
7167, 70eqtrd 2088 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)), ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 )
72713impa 1110 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ·𝑜 𝑢) +𝑜 ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑣)), ((𝑦 ·𝑜 𝑤) ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 )
73 addnnnq0 6604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)), (𝑤 ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 )
7473oveq2d 5555 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)), (𝑤 ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 ))
7574adantl 266 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)), (𝑤 ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 ))
76 addassnq0lemcl 6616 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·𝑜 𝑢) ∈ N))
77 addnnnq0 6604 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·𝑜 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)), (𝑤 ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))), (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))⟩] ~Q0 )
7876, 77sylan2 274 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)), (𝑤 ·𝑜 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))), (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))⟩] ~Q0 )
7975, 78eqtrd 2088 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))), (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))⟩] ~Q0 )
80793impb 1111 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨((𝑥 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢)) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 ((𝑧 ·𝑜 𝑢) +𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑣)))), (𝑦 ·𝑜 (𝑤 ·𝑜 𝑢))⟩] ~Q0 )
8164, 72, 803eqtr4d 2098 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
82813expib 1118 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
831, 17, 82ecoptocl 6223 . . . . 5 (𝐴Q0 → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
8483com12 30 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝐴Q0 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
851, 7, 12, 842ecoptocl 6224 . . 3 ((𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
8685com12 30 . 2 (𝐴Q0 → ((𝐵Q0𝐶Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
87863impib 1113 1 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ⟨cop 3405  ωcom 4340  (class class class)co 5539   +𝑜 coa 6028   ·𝑜 comu 6029  [cec 6134  Ncnpi 6427   ~Q0 ceq0 6441  Q0cnq0 6442   +Q0 cplq0 6444 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-plq0 6582 This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6657
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