ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addasspig GIF version

Theorem addasspig 6385
Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
addasspig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))

Proof of Theorem addasspig
StepHypRef Expression
1 pinn 6364 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6364 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 6364 . . 3 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nnaass 6027 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1177 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
6 addclpi 6382 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
7 addpiord 6371 . . . . 5 (((𝐴 +N 𝐵) ∈ N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶))
86, 7sylan 267 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶))
9 addpiord 6371 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
109oveq1d 5490 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
1110adantr 261 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +𝑜 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
128, 11eqtrd 2072 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
13123impa 1099 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +𝑜 𝐵) +𝑜 𝐶))
14 addclpi 6382 . . . . 5 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
15 addpiord 6371 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
1614, 15sylan2 270 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
17 addpiord 6371 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +𝑜 𝐶))
1817oveq2d 5491 . . . . 5 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
1918adantl 262 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
2016, 19eqtrd 2072 . . 3 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
21203impb 1100 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
225, 13, 213eqtr4d 2082 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  ωcom 4276  (class class class)co 5475   +𝑜 coa 5961  Ncnpi 6327   +N cpli 6328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-id 4027  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-oadd 5968  df-ni 6359  df-pli 6360
This theorem is referenced by:  addassnqg  6437
  Copyright terms: Public domain W3C validator