Theorem addasssrg 6684

Description: Addition of signed reals is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addasssrg	⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((A +R B) +R 𝐶) = (A +R (B +R 𝐶)))

Proof of Theorem addasssrg

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6655	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 6673	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(x +P z), (y +P w)⟩] ~R )
3		addsrpr 6673	. 2 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R )
4		addsrpr 6673	. 2 ⊢ ((((x +P z) ∈ P ∧ (y +P w) ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨(x +P z), (y +P w)⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((x +P z) +P v), ((y +P w) +P u)⟩] ~R )
5		addsrpr 6673	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ ((z +P v) ∈ P ∧ (w +P u) ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R ) = [⟨(x +P (z +P v)), (y +P (w +P u))⟩] ~R )
6		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ ((x ∈ P ∧ z ∈ P) → (x +P z) ∈ P)
7		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ ((y ∈ P ∧ w ∈ P) → (y +P w) ∈ P)
8	6, 7	anim12i 321	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ (y ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x +P z) ∈ P ∧ (y +P w) ∈ P))
9	8	an4s 522	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x +P z) ∈ P ∧ (y +P w) ∈ P))
10		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ ((z ∈ P ∧ v ∈ P) → (z +P v) ∈ P)
11		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ ((w ∈ P ∧ u ∈ P) → (w +P u) ∈ P)
12	10, 11	anim12i 321	. . 3 ⊢ (((z ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ (w ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((z +P v) ∈ P ∧ (w +P u) ∈ P))
13	12	an4s 522	. 2 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((z +P v) ∈ P ∧ (w +P u) ∈ P))
14		addassprg 6555	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ z ∈ P ∧ v ∈ P) → ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v)))
15	14	3adant1r 1127	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ z ∈ P ∧ v ∈ P) → ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v)))
16	15	3adant2r 1129	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ v ∈ P) → ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v)))
17	16	3adant3r 1131	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v)))
18		addassprg 6555	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ w ∈ P ∧ u ∈ P) → ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u)))
19	18	3adant1l 1126	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ w ∈ P ∧ u ∈ P) → ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u)))
20	19	3adant2l 1128	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ u ∈ P) → ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u)))
21	20	3adant3l 1130	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u)))
22	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 17, 21	ecoviass 6152	1 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((A +R B) +R 𝐶) = (A +R (B +R 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +_P cpp 6277   ~_R cer 6280  Rcnr 6281   +_R cplr 6285

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656

This theorem is referenced by:  axaddass  6756  axmulass  6757  axdistr  6758