ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addasssrg GIF version

Theorem addasssrg 6684
Description: Addition of signed reals is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
addasssrg ((A R B R 𝐶 R) → ((A +R B) +R 𝐶) = (A +R (B +R 𝐶)))

Proof of Theorem addasssrg
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6655 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 addsrpr 6673 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(x +P z), (y +P w)⟩] ~R )
3 addsrpr 6673 . 2 (((z P w P) (v P u P)) → ([⟨z, w⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R )
4 addsrpr 6673 . 2 ((((x +P z) P (y +P w) P) (v P u P)) → ([⟨(x +P z), (y +P w)⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((x +P z) +P v), ((y +P w) +P u)⟩] ~R )
5 addsrpr 6673 . 2 (((x P y P) ((z +P v) P (w +P u) P)) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R ) = [⟨(x +P (z +P v)), (y +P (w +P u))⟩] ~R )
6 addclpr 6520 . . . 4 ((x P z P) → (x +P z) P)
7 addclpr 6520 . . . 4 ((y P w P) → (y +P w) P)
86, 7anim12i 321 . . 3 (((x P z P) (y P w P)) → ((x +P z) P (y +P w) P))
98an4s 522 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → ((x +P z) P (y +P w) P))
10 addclpr 6520 . . . 4 ((z P v P) → (z +P v) P)
11 addclpr 6520 . . . 4 ((w P u P) → (w +P u) P)
1210, 11anim12i 321 . . 3 (((z P v P) (w P u P)) → ((z +P v) P (w +P u) P))
1312an4s 522 . 2 (((z P w P) (v P u P)) → ((z +P v) P (w +P u) P))
14 addassprg 6555 . . . . 5 ((x P z P v P) → ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v)))
15143adant1r 1127 . . . 4 (((x P y P) z P v P) → ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v)))
16153adant2r 1129 . . 3 (((x P y P) (z P w P) v P) → ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v)))
17163adant3r 1131 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v)))
18 addassprg 6555 . . . . 5 ((y P w P u P) → ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u)))
19183adant1l 1126 . . . 4 (((x P y P) w P u P) → ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u)))
20193adant2l 1128 . . 3 (((x P y P) (z P w P) u P) → ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u)))
21203adant3l 1130 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u)))
221, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 17, 21ecoviass 6152 1 ((A R B R 𝐶 R) → ((A +R B) +R 𝐶) = (A +R (B +R 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ~R cer 6280  Rcnr 6281   +R cplr 6285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656
This theorem is referenced by:  axaddass  6756  axmulass  6757  axdistr  6758
  Copyright terms: Public domain W3C validator