ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcanpig GIF version

Theorem addcanpig 6663
Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcanpig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpig
StepHypRef Expression
1 addpiord 6645 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
213adant3 959 . . . 4 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
3 addpiord 6645 . . . . 5 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +𝑜 𝐶))
433adant2 958 . . . 4 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +𝑜 𝐶))
52, 4eqeq12d 2097 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶)))
6 pinn 6638 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
7 pinn 6638 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
8 pinn 6638 . . . 4 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
9 nnacan 6174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
109biimpd 142 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
116, 7, 8, 10syl3an 1212 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
125, 11sylbid 148 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
13 oveq2 5573 . 2 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
1412, 13impbid1 140 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  ωcom 4360  (class class class)co 5565   +𝑜 coa 6084  Ncnpi 6601   +N cpli 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-irdg 6041  df-oadd 6091  df-ni 6633  df-pli 6634
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator