ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq GIF version

Theorem addclnq 6531
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclnq ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 oveq1 5547 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
32eleq1d 2122 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4 oveq2 5548 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q 𝐵))
54eleq1d 2122 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6 addpipqqs 6526 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7 mulclpi 6484 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8 mulclpi 6484 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
9 addclpi 6483 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
107, 8, 9syl2an 277 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
1110an42s 531 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12 mulclpi 6484 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1312ad2ant2l 485 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1411, 13jca 294 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15 opelxpi 4404 . . . . 5 ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
16 enqex 6516 . . . . . 6 ~Q ∈ V
1716ecelqsi 6191 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1814, 15, 173syl 17 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
196, 18eqeltrd 2130 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
201, 3, 5, 192ecoptocl 6225 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
2120, 1syl6eleqr 2147 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3406   × cxp 4371  (class class class)co 5540  [cec 6135   / cqs 6136  Ncnpi 6428   +N cpli 6429   ·N cmi 6430   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436   +Q cplq 6438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-plpq 6500  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6563  halfnqq  6566  ltbtwnnqq  6571  prarloclemcalc  6658  addnqprl  6685  addnqpru  6686  addlocprlemeqgt  6688  addlocprlemgt  6690  addlocprlem  6691  addclpr  6693  plpvlu  6694  dmplp  6696  addnqprlemrl  6713  addnqprlemru  6714  addnqprlemfl  6715  addnqprlemfu  6716  addnqpr  6717  addassprg  6735  distrlem1prl  6738  distrlem1pru  6739  distrlem4prl  6740  distrlem4pru  6741  distrlem5prl  6742  distrlem5pru  6743  ltaddpr  6753  ltexprlemloc  6763  ltexprlemfl  6765  ltexprlemrl  6766  ltexprlemfu  6767  ltexprlemru  6768  addcanprleml  6770  addcanprlemu  6771  recexprlemm  6780  aptiprleml  6795  aptiprlemu  6796  caucvgprlemcanl  6800  cauappcvgprlemm  6801  cauappcvgprlemdisj  6807  cauappcvgprlemloc  6808  cauappcvgprlemladdfu  6810  cauappcvgprlemladdfl  6811  cauappcvgprlemladdru  6812  cauappcvgprlemladdrl  6813  cauappcvgprlem1  6815  cauappcvgprlem2  6816  caucvgprlemnkj  6822  caucvgprlemnbj  6823  caucvgprlemm  6824  caucvgprlemloc  6831  caucvgprlemladdfu  6833  caucvgprlemladdrl  6834  caucvgprlem2  6836  caucvgprprlemloccalc  6840  caucvgprprlemml  6850  caucvgprprlemmu  6851  caucvgprprlemopl  6853  caucvgprprlemloc  6859
  Copyright terms: Public domain W3C validator