ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq GIF version

Theorem addclnq 6430
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclnq ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6403 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 oveq1 5482 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
32eleq1d 2106 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4 oveq2 5483 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q 𝐵))
54eleq1d 2106 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6 addpipqqs 6425 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7 mulclpi 6383 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8 mulclpi 6383 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
9 addclpi 6382 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
107, 8, 9syl2an 273 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
1110an42s 523 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12 mulclpi 6383 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1312ad2ant2l 477 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1411, 13jca 290 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15 opelxpi 4339 . . . . 5 ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
16 enqex 6415 . . . . . 6 ~Q ∈ V
1716ecelqsi 6123 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1814, 15, 173syl 17 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
196, 18eqeltrd 2114 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
201, 3, 5, 192ecoptocl 6157 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
2120, 1syl6eleqr 2131 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3375   × cxp 4306  (class class class)co 5475  [cec 6067   / cqs 6068  Ncnpi 6327   +N cpli 6328   ·N cmi 6329   ~Q ceq 6334  Qcnq 6335   +Q cplq 6337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-id 4027  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-plpq 6399  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6462  halfnqq  6465  ltbtwnnqq  6470  prarloclemcalc  6557  addnqprl  6584  addnqpru  6585  addlocprlemeqgt  6587  addlocprlemgt  6589  addlocprlem  6590  addclpr  6592  plpvlu  6593  dmplp  6595  addnqprlemrl  6612  addnqprlemru  6613  addnqprlemfl  6614  addnqprlemfu  6615  addnqpr  6616  addassprg  6634  distrlem1prl  6637  distrlem1pru  6638  distrlem4prl  6639  distrlem4pru  6640  distrlem5prl  6641  distrlem5pru  6642  ltaddpr  6652  ltexprlemloc  6662  ltexprlemfl  6664  ltexprlemrl  6665  ltexprlemfu  6666  ltexprlemru  6667  addcanprleml  6669  addcanprlemu  6670  recexprlemm  6679  aptiprleml  6694  aptiprlemu  6695  caucvgprlemcanl  6699  cauappcvgprlemm  6700  cauappcvgprlemdisj  6706  cauappcvgprlemloc  6707  cauappcvgprlemladdfu  6709  cauappcvgprlemladdfl  6710  cauappcvgprlemladdru  6711  cauappcvgprlemladdrl  6712  cauappcvgprlem1  6714  cauappcvgprlem2  6715  caucvgprlemnkj  6721  caucvgprlemnbj  6722  caucvgprlemm  6723  caucvgprlemloc  6730  caucvgprlemladdfu  6732  caucvgprlemladdrl  6733  caucvgprlem2  6735  caucvgprprlemloccalc  6739  caucvgprprlemml  6749  caucvgprprlemmu  6750  caucvgprprlemopl  6752  caucvgprprlemloc  6758
  Copyright terms: Public domain W3C validator