ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 GIF version

Theorem addclnq0 6606
Description: Closure of addition on non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6580 . . 3 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5546 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
32eleq1d 2122 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5547 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
54eleq1d 2122 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6 addnnnq0 6604 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
7 pinn 6464 . . . . . . . . 9 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
8 nnmcl 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω)
97, 8sylan2 274 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω)
10 pinn 6464 . . . . . . . . 9 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
11 nnmcl 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
1210, 11sylan 271 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
13 nnacl 6089 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω) → ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω)
149, 12, 13syl2an 277 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω)
1514an42s 531 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω)
16 mulpiord 6472 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·𝑜 𝑤))
17 mulclpi 6483 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1816, 17eqeltrrd 2131 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
1918ad2ant2l 485 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
2015, 19jca 294 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N))
21 opelxpi 4403 . . . . 5 ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
22 enq0ex 6594 . . . . . 6 ~Q0 ∈ V
2322ecelqsi 6190 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
2420, 21, 233syl 17 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
256, 24eqeltrd 2130 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
261, 3, 5, 252ecoptocl 6224 . 2 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
2726, 1syl6eleqr 2147 1 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3405  ωcom 4340   × cxp 4370  (class class class)co 5539   +𝑜 coa 6028   ·𝑜 comu 6029  [cec 6134   / cqs 6135  Ncnpi 6427   ·N cmi 6429   ~Q0 ceq0 6441  Q0cnq0 6442   +Q0 cplq0 6444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-plq0 6582
This theorem is referenced by:  distnq0r  6618  prarloclemcalc  6657
  Copyright terms: Public domain W3C validator