ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq GIF version

Theorem addcmpblnq 6493
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distrpig 6459 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
21adantl 266 . . . . . . 7 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
3 simplll 493 . . . . . . . 8 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐴N)
4 simprlr 498 . . . . . . . 8 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐺N)
5 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐺N) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
63, 4, 5syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
7 simpllr 494 . . . . . . . 8 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐵N)
8 simprll 497 . . . . . . . 8 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐹N)
9 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐵N𝐹N) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
107, 8, 9syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
11 mulclpi 6454 . . . . . . . . 9 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
1211ad2ant2l 485 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐷N) ∧ (𝑅N𝑆N)) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
1312ad2ant2l 485 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
14 addclpi 6453 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
1514adantl 266 . . . . . . 7 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
16 mulcompig 6457 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
1716adantl 266 . . . . . . 7 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
182, 6, 10, 13, 15, 17caovdir2d 5702 . . . . . 6 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))))
19 simplrr 496 . . . . . . . 8 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐷N)
20 mulasspig 6458 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
2120adantl 266 . . . . . . . 8 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
22 simprrr 500 . . . . . . . 8 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝑆N)
23 mulclpi 6454 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
2423adantl 266 . . . . . . . 8 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
253, 4, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5710 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
267, 8, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5710 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
2725, 26oveq12d 5555 . . . . . 6 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
2818, 27eqtrd 2086 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
29 oveq1 5544 . . . . . 6 ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
30 oveq2 5545 . . . . . 6 ((𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅) → ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
3129, 30oveqan12d 5556 . . . . 5 (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
3228, 31sylan9eq 2106 . . . 4 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
33 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
347, 4, 33syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
35 simplrl 495 . . . . . . . 8 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐶N)
36 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝑆N) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
3735, 22, 36syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
38 simprrl 499 . . . . . . . 8 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝑅N)
39 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐷N𝑅N) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
4019, 38, 39syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
41 distrpig 6459 . . . . . . 7 (((𝐵 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
4234, 37, 40, 41syl3anc 1144 . . . . . 6 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
437, 4, 35, 17, 21, 22, 24caov4d 5710 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
447, 4, 19, 17, 21, 38, 24caov4d 5710 . . . . . . 7 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
4543, 44oveq12d 5555 . . . . . 6 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4642, 45eqtrd 2086 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4746adantr 265 . . . 4 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4832, 47eqtr4d 2089 . . 3 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))))
49 addclpi 6453 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
505, 9, 49syl2an 277 . . . . . . . . 9 (((𝐴N𝐺N) ∧ (𝐵N𝐹N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
5150an42s 531 . . . . . . . 8 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐹N𝐺N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
5233ad2ant2l 485 . . . . . . . 8 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐹N𝐺N)) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
5351, 52jca 294 . . . . . . 7 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐹N𝐺N)) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
54 addclpi 6453 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
5536, 39, 54syl2an 277 . . . . . . . . 9 (((𝐶N𝑆N) ∧ (𝐷N𝑅N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
5655an42s 531 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐷N) ∧ (𝑅N𝑆N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
5756, 12jca 294 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐷N) ∧ (𝑅N𝑆N)) → (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
5853, 57anim12i 325 . . . . . 6 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐹N𝐺N)) ∧ ((𝐶N𝐷N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
5958an4s 530 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
60 enqbreq 6482 . . . . 5 (((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6159, 60syl 14 . . . 4 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6261adantr 265 . . 3 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6348, 62mpbird 160 . 2 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩)
6463ex 112 1 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 894   = wceq 1257  wcel 1407  cop 3403   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  Ncnpi 6398   +N cpli 6399   ·N cmi 6400   ~Q ceq 6405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-enq 6473
This theorem is referenced by:  addpipqqs  6496
  Copyright terms: Public domain W3C validator