ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  adddirp1d GIF version

Theorem adddirp1d 7277
Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
adddirp1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
adddirp1d (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d
StepHypRef Expression
1 adddirp1d.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 7267 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3 adddirp1d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
41, 2, 3adddird 7276 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
53mulid2d 7269 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
65oveq2d 5580 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
74, 6eqtrd 2115 1 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5564  cc 7111  1c1 7114   + caddc 7116   · cmul 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-mulcl 7206  ax-mulcom 7209  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-1rid 7215  ax-cnre 7219
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-iota 4917  df-fv 4960  df-ov 5567
This theorem is referenced by:  modqvalp1  9495  hashxp  9920  divalglemnqt  10545
  Copyright terms: Public domain W3C validator