Theorem addext 7829

Description: Strong extensionality for addition. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 5572. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addext	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Proof of Theorem addext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 496	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simplr 497	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 7252	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		simprl 498	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		simprr 499	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcld 7252	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
7	4, 2	addcld 7252	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		apcotr 7826	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵))))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1170	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵))))
10		apadd1 7827	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵)))
11	1, 4, 2, 10	syl3anc 1170	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵)))
12		apadd2 7828	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 # 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
13	2, 5, 4, 12	syl3anc 1170	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 # 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
14		apsym 7825	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵)))
15	7, 6, 14	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵)))
16	13, 15	bitrd 186	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 # 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵)))
17	11, 16	orbi12d 740	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵))))
18	9, 17	sylibrd 167	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  ℂcc 7093   + caddc 7098   # cap 7800

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-ltxr 7272  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801

This theorem is referenced by:  mulext1  7831  abs00ap  10149  absext  10150