ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addge01 GIF version

Theorem addge01 7678
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
addge01 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem addge01
StepHypRef Expression
1 0re 7216 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 leadd2 7637 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
31, 2mp3an1 1256 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
43ancoms 264 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
5 recn 7203 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
65addid1d 7359 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
76adantr 270 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
87breq1d 3815 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
94, 8bitrd 186 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cr 7077  0cc0 7078   + caddc 7081  cle 7251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7164  ax-resscn 7165  ax-1cn 7166  ax-1re 7167  ax-icn 7168  ax-addcl 7169  ax-addrcl 7170  ax-mulcl 7171  ax-addcom 7173  ax-addass 7175  ax-i2m1 7178  ax-0id 7181  ax-rnegex 7182  ax-pre-ltadd 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2611  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-iota 4917  df-fv 4960  df-ov 5566  df-pnf 7252  df-mnf 7253  df-xr 7254  df-ltxr 7255  df-le 7256
This theorem is referenced by:  addge02  7679  subge02  7684  addge01d  7735  nn0addge1  8436  elfzmlbp  9255  flqbi2  9408
  Copyright terms: Public domain W3C validator