ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0d GIF version

Theorem addgt0d 7688
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addgt0d.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
addgt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
addgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgt0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 0red 7182 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 addgt0d.3 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
53, 1, 4ltled 7295 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6 addgt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
71, 2, 5, 6addgegt0d 7687 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  cr 7042  0cc0 7043   + caddc 7046   < clt 7215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221
This theorem is referenced by:  nnoddm1d2  10454
  Copyright terms: Public domain W3C validator