Theorem addneintr2d 7416

Description: Introducing a term on the right-hand side of a sum in a negated equality. Contrapositive of addcan2ad 7414. Consequence of addcan2d 7412. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addneintr2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addneintr2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem addneintr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addneintr2d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		addcand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addcand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addcan2d 7412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 165	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2249  (class class class)co 5563  ℂcc 7093   + caddc 7098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-iota 4917  df-fv 4960  df-ov 5566

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  9530