Theorem addneintrd 7363

Description: Introducing a term on the left-hand side of a sum in a negated equality. Contrapositive of addcanad 7361. Consequence of addcand 7359. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addneintrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
addneintrd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶))

Proof of Theorem addneintrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addneintrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
2		addcand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addcand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addcand 7359	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
6	5	necon3bid 2287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
7	1, 6	mpbird 165	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2246  (class class class)co 5543  ℂcc 7041   + caddc 7046

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546

This theorem is referenced by: (None)