ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addneintrd GIF version

Theorem addneintrd 7363
Description: Introducing a term on the left-hand side of a sum in a negated equality. Contrapositive of addcanad 7361. Consequence of addcand 7359. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
addcand.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
addneintrd.4 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
addneintrd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶))

Proof of Theorem addneintrd
StepHypRef Expression
1 addneintrd.4 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
2 addcand.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 addcand.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 addcand.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
52, 3, 4addcand 7359 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
65necon3bid 2287 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵𝐶))
71, 6mpbird 165 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  wne 2246  (class class class)co 5543  cc 7041   + caddc 7046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator