Theorem addnidpig 6320

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpig	⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → ¬ (A +N B) = A)

Proof of Theorem addnidpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6293	. . 3 ⊢ (A ∈ N → A ∈ 𝜔)
2		elni2 6298	. . . 4 ⊢ (B ∈ N ↔ (B ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ B))
3		nnaordi 6017	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (∅ ∈ B → (A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B)))
4		nna0 5992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (A +𝑜 ∅) = A)
5	4	eleq1d 2103	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ 𝜔 → ((A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B) ↔ A ∈ (A +𝑜 B)))
6		nnord 4277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ 𝜔 → Ord A)
7		ordirr 4225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord A → ¬ A ∈ A)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A)
9		eleq2 2098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A +𝑜 B) = A → (A ∈ (A +𝑜 B) ↔ A ∈ A))
10	9	notbid 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A +𝑜 B) = A → (¬ A ∈ (A +𝑜 B) ↔ ¬ A ∈ A))
11	8, 10	syl5ibrcom 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ 𝜔 → ((A +𝑜 B) = A → ¬ A ∈ (A +𝑜 B)))
12	11	con2d 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (A ∈ (A +𝑜 B) → ¬ (A +𝑜 B) = A))
13	5, 12	sylbid 139	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ 𝜔 → ((A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B) → ¬ (A +𝑜 B) = A))
14	13	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → ((A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B) → ¬ (A +𝑜 B) = A))
15	3, 14	syld 40	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (∅ ∈ B → ¬ (A +𝑜 B) = A))
16	15	expcom 109	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (B ∈ 𝜔 → (∅ ∈ B → ¬ (A +𝑜 B) = A)))
17	16	imp32 244	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ (B ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ B)) → ¬ (A +𝑜 B) = A)
18	2, 17	sylan2b 271	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → ¬ (A +𝑜 B) = A)
19	1, 18	sylan 267	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → ¬ (A +𝑜 B) = A)
20		addpiord 6300	. . 3 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) = (A +𝑜 B))
21	20	eqeq1d 2045	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → ((A +N B) = A ↔ (A +𝑜 B) = A))
22	19, 21	mtbird 597	1 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → ¬ (A +N B) = A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∅c0 3218  Ord word 4065  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   +_𝑜 coa 5937  Ncnpi 6256   +_N cpli 6257

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-ni 6288  df-pli 6289

This theorem is referenced by: (None)