ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpinq1 GIF version

Theorem addpinq1 6793
Description: Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
addpinq1 (𝐴N → [⟨(𝐴 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q))

Proof of Theorem addpinq1
StepHypRef Expression
1 df-1nqqs 6680 . . . . 5 1Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q
21oveq2i 5576 . . . 4 ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q) = ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
3 1pi 6644 . . . . 5 1𝑜N
4 addpipqqs 6699 . . . . . 6 (((𝐴N ∧ 1𝑜N) ∧ (1𝑜N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
53, 3, 4mpanr12 430 . . . . 5 ((𝐴N ∧ 1𝑜N) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
63, 5mpan2 416 . . . 4 (𝐴N → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
72, 6syl5eq 2127 . . 3 (𝐴N → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
8 mulidpi 6647 . . . . . . 7 (1𝑜N → (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜)
93, 8ax-mp 7 . . . . . 6 (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜
109oveq2i 5576 . . . . 5 ((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) = ((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜)
1110, 9opeq12i 3596 . . . 4 ⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜
12 eceq1 6230 . . . 4 (⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩ → [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
1311, 12ax-mp 7 . . 3 [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q
147, 13syl6eq 2131 . 2 (𝐴N → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
15 mulidpi 6647 . . . . 5 (𝐴N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
1615oveq1d 5580 . . . 4 (𝐴N → ((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜) = (𝐴 +N 1𝑜))
1716opeq1d 3597 . . 3 (𝐴N → ⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩ = ⟨(𝐴 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
1817eceq1d 6231 . 2 (𝐴N → [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝐴 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
1914, 18eqtr2d 2116 1 (𝐴N → [⟨(𝐴 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3420  (class class class)co 5565  1𝑜c1o 6080  [cec 6193  Ncnpi 6601   +N cpli 6602   ·N cmi 6603   ~Q ceq 6608  1Qc1q 6610   +Q cplq 6611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-irdg 6041  df-1o 6087  df-oadd 6091  df-omul 6092  df-er 6195  df-ec 6197  df-qs 6201  df-ni 6633  df-pli 6634  df-mi 6635  df-plpq 6673  df-enq 6676  df-nqqs 6677  df-plqqs 6678  df-1nqqs 6680
This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator