Theorem addpinq1 6793

Description: Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addpinq1	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q))

Proof of Theorem addpinq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 6680	. . . . 5 ⊢ 1Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q
2	1	oveq2i 5576	. . . 4 ⊢ ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q) = ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
3		1pi 6644	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ N
4		addpipqqs 6699	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
5	3, 3, 4	mpanr12 430	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
6	3, 5	mpan2 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
7	2, 6	syl5eq 2127	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
8		mulidpi 6647	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 ∈ N → (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜)
9	3, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜
10	9	oveq2i 5576	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) = ((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜)
11	10, 9	opeq12i 3596	. . . 4 ⊢ ⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩
12		eceq1 6230	. . . 4 ⊢ (⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩ → [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
13	11, 12	ax-mp 7	. . 3 ⊢ [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q
14	7, 13	syl6eq 2131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q) = [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
15		mulidpi 6647	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
16	15	oveq1d 5580	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜) = (𝐴 +N 1𝑜))
17	16	opeq1d 3597	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩ = ⟨(𝐴 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
18	17	eceq1d 6231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨((𝐴 ·N 1𝑜) +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝐴 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
19	14, 18	eqtr2d 2116	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q +Q 1Q))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ⟨cop 3420  (class class class)co 5565  1_𝑜c1o 6080  [cec 6193  Ncnpi 6601   +_N cpli 6602   ·_N cmi 6603   ~_Q ceq 6608  1_Qc1q 6610   +_Q cplq 6611

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-irdg 6041  df-1o 6087  df-oadd 6091  df-omul 6092  df-er 6195  df-ec 6197  df-qs 6201  df-ni 6633  df-pli 6634  df-mi 6635  df-plpq 6673  df-enq 6676  df-nqqs 6677  df-plqqs 6678  df-1nqqs 6680

This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7154