ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  algcvgblem GIF version

Theorem algcvgblem 10257
Description: Lemma for algcvgb 10258. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
algcvgblem ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Proof of Theorem algcvgblem
StepHypRef Expression
1 nn0z 8321 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 0z 8312 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
3 zdceq 8373 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
41, 2, 3sylancl 398 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 = 0)
54dcned 2226 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 ≠ 0)
6 imordc 807 . . . . . . 7 (DECID 𝑁 ≠ 0 → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
75, 6syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
87adantl 266 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
9 nn0z 8321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
10 zltnle 8347 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
112, 9, 10sylancr 399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
1211adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
13 nn0le0eq0 8266 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
1413notbid 602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
1514adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
1612, 15bitrd 181 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
17 df-ne 2221 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
1816, 17syl6bbr 191 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
1918anbi2d 445 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0)))
201adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2120, 2, 3sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝑁 = 0)
22 nnedc 2225 . . . . . . . . . . . . 13 (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
2321, 22syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
24 breq1 3794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
2523, 24syl6bi 156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀)))
26 bi2 125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀) → (0 < 𝑀𝑁 < 𝑀))
2725, 26syl6 33 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (0 < 𝑀𝑁 < 𝑀)))
2827impd 246 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀))
2919, 28sylbird 163 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 < 𝑀))
3029expd 249 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
31 ax-1 5 . . . . . . 7 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
3230, 31jctir 300 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
33 jaob 641 . . . . . 6 (((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ↔ ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
3432, 33sylibr 141 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
358, 34sylbid 143 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
36 nn0ge0 8263 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
3736adantl 266 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
38 nn0re 8247 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
39 nn0re 8247 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
40 0re 7084 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
41 lelttr 7164 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4240, 41mp3an1 1230 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4338, 39, 42syl2anr 278 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4437, 43mpand 413 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
4544, 18sylibd 142 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
4645imim2d 52 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
4735, 46jcad 295 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
48 pm3.34 332 . . 3 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
4947, 48impbid1 134 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
50 con34bdc 776 . . . . 5 (DECID 𝑁 = 0 → ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0)))
5121, 50syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0)))
52 df-ne 2221 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
5352, 17imbi12i 232 . . . 4 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
5451, 53syl6bbr 191 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
5554anbi2d 445 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
5649, 55bitr4d 184 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  DECID wdc 753   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220   class class class wbr 3791  cr 6945  0cc0 6946   < clt 7118  cle 7119  0cn0 8238  cz 8301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302
This theorem is referenced by:  algcvgb  10258
  Copyright terms: Public domain W3C validator