ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  alzdvds GIF version

Theorem alzdvds 11479
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 9039 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℤ
2 zcn 9027 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
32abscld 10921 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4 arch 8942 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
6 ssrexv 3132 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥))
71, 5, 6mpsyl 65 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥)
8 zabscl 10826 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
9 zltnle 9068 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
108, 9sylan 281 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
1110rexbidva 2411 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
12 rexnalim 2404 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
1311, 12syl6bi 162 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
147, 13mpd 13 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
1514adantl 275 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
16 ralim 2468 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
17 dvdsleabs 11470 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
18173expb 1167 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
1918expcom 115 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁))))
2019ralrimiv 2481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2116, 20syl11 31 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2221expdimp 257 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2315, 22mtod 637 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 ≠ 0)
24 0z 9033 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
25 zdceq 9094 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
2624, 25mpan2 421 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
27 nnedc 2290 . . . . . 6 (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
2826, 27syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
2928adantl 275 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
3023, 29mpbid 146 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
3130expcom 115 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
32 dvds0 11435 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
33 breq2 3903 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑥𝑁𝑥 ∥ 0))
3432, 33syl5ibr 155 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑁))
3534ralrimiv 2481 . 2 (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁)
3631, 35impbid1 141 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 804   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  wral 2393  wrex 2394  wss 3041   class class class wbr 3899  cfv 5093  cr 7587  0cc0 7588   < clt 7768  cle 7769  cn 8688  cz 9022  abscabs 10737  cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator