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Theorem archnqq 6573
 Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6534 . 2 (𝐴Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2 1pi 6471 . . . . . . 7 1𝑜N
3 addclpi 6483 . . . . . . 7 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
42, 3mpan2 409 . . . . . 6 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
54adantr 265 . . . . 5 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
65adantr 265 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
7 pinn 6465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
8 1onn 6124 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
9 nnacl 6090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
107, 8, 9sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
1110adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
12 nnm1 6128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
14 elni2 6470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15 nnord 4362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16 ordgt0ge1 6049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1𝑜𝑤))
1716biimpa 284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜𝑤)
1815, 17sylan 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜𝑤)
1914, 18sylbi 118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤N → 1𝑜𝑤)
2019adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → 1𝑜𝑤)
21 pinn 6465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
2221adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → 𝑤 ∈ ω)
23 nnaword1 6117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
247, 8, 23sylancl 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
25 elni2 6470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
2625simprbi 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N → ∅ ∈ 𝑧)
2724, 26sseldd 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
2827adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
29 nnmword 6122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
308, 29mp3anl1 1237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
3122, 11, 28, 30syl21anc 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
3220, 31mpbid 139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
3313, 32eqsstr3d 3008 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
34 nna0 6084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) = 𝑧)
35 0lt1o 6054 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ 1𝑜
36 nnaordi 6112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
378, 36mpan 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
3934, 38eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
4140adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
4233, 41sseldd 2974 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
43 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
444, 43sylan 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
45 ltpiord 6475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
4644, 45syldan 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
47 mulpiord 6473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
484, 47sylan 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
49 addpiord 6472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
502, 49mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
5150adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
5251oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
5348, 52eqtrd 2088 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
5453eleq2d 2123 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
5546, 54bitrd 181 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
5642, 55mpbird 160 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤))
57 mulcompig 6487 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
584, 57sylan 271 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
5958breq2d 3804 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6056, 59mpbid 139 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
615, 2jctir 300 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N))
62 ordpipqqs 6530 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6361, 62mpdan 406 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
64 mulidpi 6474 . . . . . . . . . 10 (𝑧N → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
6564adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
6665breq1d 3802 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6763, 66bitrd 181 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6860, 67mpbird 160 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6968adantr 265 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
70 breq1 3795 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7170adantl 266 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7269, 71mpbird 160 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
73 opeq1 3577 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → ⟨𝑥, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
7473eceq1d 6173 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
7574breq2d 3804 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7675rspcev 2673 . . . 4 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
776, 72, 76syl2anc 397 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
7877exlimivv 1792 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
791, 78syl 14 1 (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1259  ∃wex 1397   ∈ wcel 1409  ∃wrex 2324   ⊆ wss 2945  ∅c0 3252  ⟨cop 3406   class class class wbr 3792  Ord word 4127  ωcom 4341  (class class class)co 5540  1𝑜c1o 6025   +𝑜 coa 6029   ·𝑜 comu 6030  [cec 6135  Ncnpi 6428   +N cpli 6429   ·N cmi 6430
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