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Theorem archnqq 6472
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6433 . 2 (𝐴Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2 1pi 6370 . . . . . . 7 1𝑜N
3 addclpi 6382 . . . . . . 7 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
42, 3mpan2 401 . . . . . 6 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
54adantr 261 . . . . 5 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
65adantr 261 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
7 pinn 6364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
8 1onn 6056 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
9 nnacl 6022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
107, 8, 9sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
1110adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
12 nnm1 6060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
14 elni2 6369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15 nnord 4297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16 ordgt0ge1 5981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1𝑜𝑤))
1716biimpa 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜𝑤)
1815, 17sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜𝑤)
1914, 18sylbi 114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤N → 1𝑜𝑤)
2019adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → 1𝑜𝑤)
21 pinn 6364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
2221adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → 𝑤 ∈ ω)
23 nnaword1 6049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
247, 8, 23sylancl 392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
25 elni2 6369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
2625simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N → ∅ ∈ 𝑧)
2724, 26sseldd 2943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
2827adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
29 nnmword 6054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
308, 29mp3anl1 1226 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
3122, 11, 28, 30syl21anc 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
3220, 31mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
3313, 32eqsstr3d 2977 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
34 nna0 6016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) = 𝑧)
35 0lt1o 5986 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ 1𝑜
36 nnaordi 6044 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
378, 36mpan 400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
3934, 38eqeltrrd 2115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
4140adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
4233, 41sseldd 2943 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
43 mulclpi 6383 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
444, 43sylan 267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
45 ltpiord 6374 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
4644, 45syldan 266 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
47 mulpiord 6372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
484, 47sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
49 addpiord 6371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
502, 49mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
5150adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
5251oveq1d 5490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
5348, 52eqtrd 2072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
5453eleq2d 2107 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
5546, 54bitrd 177 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
5642, 55mpbird 156 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤))
57 mulcompig 6386 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
584, 57sylan 267 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
5958breq2d 3773 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6056, 59mpbid 135 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
615, 2jctir 296 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N))
62 ordpipqqs 6429 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6361, 62mpdan 398 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
64 mulidpi 6373 . . . . . . . . . 10 (𝑧N → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
6564adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
6665breq1d 3771 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6763, 66bitrd 177 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6860, 67mpbird 156 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6968adantr 261 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
70 breq1 3764 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7170adantl 262 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7269, 71mpbird 156 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
73 opeq1 3546 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → ⟨𝑥, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
7473eceq1d 6105 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
7574breq2d 3773 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7675rspcev 2653 . . . 4 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
776, 72, 76syl2anc 391 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
7877exlimivv 1776 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
791, 78syl 14 1 (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  wrex 2304  wss 2914  c0 3221  cop 3375   class class class wbr 3761  Ord word 4071  ωcom 4276  (class class class)co 5475  1𝑜c1o 5957   +𝑜 coa 5961   ·𝑜 comu 5962  [cec 6067  Ncnpi 6327   +N cpli 6328   ·N cmi 6329   <N clti 6330   ~Q ceq 6334  Qcnq 6335   <Q cltq 6340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-1o 5964  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-ltnqqs 6408
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  6473  nqprm  6597  archpr  6698  archrecnq  6718
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