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Theorem archnqq 6573
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6534 . 2 (𝐴Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2 1pi 6471 . . . . . . 7 1𝑜N
3 addclpi 6483 . . . . . . 7 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
42, 3mpan2 409 . . . . . 6 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
54adantr 265 . . . . 5 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
65adantr 265 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
7 pinn 6465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
8 1onn 6124 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
9 nnacl 6090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
107, 8, 9sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
1110adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
12 nnm1 6128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
14 elni2 6470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15 nnord 4362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16 ordgt0ge1 6049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1𝑜𝑤))
1716biimpa 284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜𝑤)
1815, 17sylan 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜𝑤)
1914, 18sylbi 118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤N → 1𝑜𝑤)
2019adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → 1𝑜𝑤)
21 pinn 6465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
2221adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → 𝑤 ∈ ω)
23 nnaword1 6117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
247, 8, 23sylancl 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
25 elni2 6470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
2625simprbi 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N → ∅ ∈ 𝑧)
2724, 26sseldd 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
2827adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
29 nnmword 6122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
308, 29mp3anl1 1237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
3122, 11, 28, 30syl21anc 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
3220, 31mpbid 139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
3313, 32eqsstr3d 3008 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
34 nna0 6084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) = 𝑧)
35 0lt1o 6054 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ 1𝑜
36 nnaordi 6112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
378, 36mpan 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
3934, 38eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
4140adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
4233, 41sseldd 2974 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
43 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
444, 43sylan 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
45 ltpiord 6475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
4644, 45syldan 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
47 mulpiord 6473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
484, 47sylan 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
49 addpiord 6472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
502, 49mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
5150adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
5251oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
5348, 52eqtrd 2088 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
5453eleq2d 2123 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
5546, 54bitrd 181 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
5642, 55mpbird 160 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤))
57 mulcompig 6487 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
584, 57sylan 271 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
5958breq2d 3804 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6056, 59mpbid 139 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
615, 2jctir 300 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N))
62 ordpipqqs 6530 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6361, 62mpdan 406 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
64 mulidpi 6474 . . . . . . . . . 10 (𝑧N → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
6564adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
6665breq1d 3802 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6763, 66bitrd 181 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6860, 67mpbird 160 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6968adantr 265 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
70 breq1 3795 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7170adantl 266 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7269, 71mpbird 160 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
73 opeq1 3577 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → ⟨𝑥, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
7473eceq1d 6173 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
7574breq2d 3804 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7675rspcev 2673 . . . 4 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
776, 72, 76syl2anc 397 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
7877exlimivv 1792 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
791, 78syl 14 1 (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  wrex 2324  wss 2945  c0 3252  cop 3406   class class class wbr 3792  Ord word 4127  ωcom 4341  (class class class)co 5540  1𝑜c1o 6025   +𝑜 coa 6029   ·𝑜 comu 6030  [cec 6135  Ncnpi 6428   +N cpli 6429   ·N cmi 6430   <N clti 6431   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436   <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  6574  nqprm  6698  archpr  6799  archrecnq  6819
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