ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archrecnq GIF version

Theorem archrecnq 6819
Description: Archimedean principle for fractions (reciprocal version). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
archrecnq (𝐴Q → ∃𝑗N (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Proof of Theorem archrecnq
StepHypRef Expression
1 recclnq 6548 . . 3 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 archnqq 6573 . . 3 ((*Q𝐴) ∈ Q → ∃𝑗N (*Q𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q )
31, 2syl 14 . 2 (𝐴Q → ∃𝑗N (*Q𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q )
4 nnnq 6578 . . . . 5 (𝑗N → [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~QQ)
5 ltrnqg 6576 . . . . 5 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~QQ) → ((*Q𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q𝐴))))
61, 4, 5syl2an 277 . . . 4 ((𝐴Q𝑗N) → ((*Q𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q𝐴))))
7 recrecnq 6550 . . . . . 6 (𝐴Q → (*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴)
87breq2d 3804 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
98adantr 265 . . . 4 ((𝐴Q𝑗N) → ((*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
106, 9bitrd 181 . . 3 ((𝐴Q𝑗N) → ((*Q𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
1110rexbidva 2340 . 2 (𝐴Q → (∃𝑗N (*Q𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ↔ ∃𝑗N (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
123, 11mpbid 139 1 (𝐴Q → ∃𝑗N (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409  wrex 2324  cop 3406   class class class wbr 3792  cfv 4930  1𝑜c1o 6025  [cec 6135  Ncnpi 6428   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436  *Qcrq 6440   <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  archrecpr  6820  caucvgprlemm  6824  caucvgprlemloc  6831  caucvgprlemlim  6837  caucvgprprlemml  6850  caucvgprprlemloc  6859
  Copyright terms: Public domain W3C validator