ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax0lt1 GIF version

Theorem ax0lt1 7093
Description: 0 is less than 1. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0lt1 7133.

The version of this axiom in the Metamath Proof Explorer reads 1 ≠ 0; here we change it to 0 < 1. The proof of 0 < 1 from 1 ≠ 0 in the Metamath Proof Explorer (accessed 12-Jan-2020) relies on real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
ax0lt1 0 < 1

Proof of Theorem ax0lt1
StepHypRef Expression
1 0lt1sr 6993 . . 3 0R <R 1R
2 ltresr 7058 . . 3 (⟨0R, 0R⟩ < ⟨1R, 0R⟩ ↔ 0R <R 1R)
31, 2mpbir 144 . 2 ⟨0R, 0R⟩ < ⟨1R, 0R
4 df-0 7039 . 2 0 = ⟨0R, 0R
5 df-1 7040 . 2 1 = ⟨1R, 0R
63, 4, 53brtr4i 3815 1 0 < 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  cop 3403   class class class wbr 3787  0Rc0r 6539  1Rc1r 6540   <R cltr 6544  0cc0 7032  1c1 7033   < cltrr 7036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-2o 6060  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-enq0 6665  df-nq0 6666  df-0nq0 6667  df-plq0 6668  df-mq0 6669  df-inp 6707  df-i1p 6708  df-iplp 6709  df-iltp 6711  df-enr 6954  df-nr 6955  df-ltr 6958  df-0r 6959  df-1r 6960  df-0 7039  df-1 7040  df-r 7042  df-lt 7045
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator