ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axapti GIF version

Theorem axapti 7148
Description: Apartness of reals is tight. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-apti 7056 with ordering on the extended reals.) (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
axapti ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem axapti
StepHypRef Expression
1 ltxrlt 7143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
2 ltxrlt 7143 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
32ancoms 259 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
41, 3orbi12d 717 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
54notbid 602 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
6 ax-pre-apti 7056 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
763expia 1117 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
85, 7sylbid 143 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
983impia 1112 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3791  cr 6945   < cltrr 6950   < clt 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-apti 7056
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-ltxr 7123
This theorem is referenced by:  lttri3  7156  reapti  7643
  Copyright terms: Public domain W3C validator