Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcnre GIF version

Theorem axcnre 7179
 Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 7219. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 7119 . 2 ℂ = (R × R)
2 eqeq1 2089 . . 3 (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐴 → (⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
322rexbidv 2396 . 2 (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
4 opelreal 7128 . . . . . 6 (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑧R)
5 opelreal 7128 . . . . . 6 (⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑤R)
64, 5anbi12i 448 . . . . 5 ((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ↔ (𝑧R𝑤R))
76biimpri 131 . . . 4 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ))
8 df-i 7122 . . . . . . . . 9 i = ⟨0R, 1R
98oveq1i 5574 . . . . . . . 8 (i · ⟨𝑤, 0R⟩) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩)
10 0r 7059 . . . . . . . . . 10 0RR
11 1sr 7060 . . . . . . . . . . 11 1RR
12 mulcnsr 7135 . . . . . . . . . . 11 (((0RR ∧ 1RR) ∧ (𝑤R ∧ 0RR)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
1310, 11, 12mpanl12 427 . . . . . . . . . 10 ((𝑤R ∧ 0RR) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
1410, 13mpan2 416 . . . . . . . . 9 (𝑤R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
15 mulcomsrg 7066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0RR𝑤R) → (0R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 0R))
1610, 15mpan 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (0R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 0R))
17 00sr 7078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (𝑤 ·R 0R) = 0R)
1816, 17eqtrd 2115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (0R ·R 𝑤) = 0R)
1918oveq1d 5579 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → ((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))))
20 00sr 7078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1RR → (1R ·R 0R) = 0R)
2111, 20ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1R ·R 0R) = 0R
2221oveq2i 5575 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
23 m1r 7061 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1RR
24 00sr 7078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
2523, 24ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R 0R) = 0R
2622, 25eqtri 2103 . . . . . . . . . . . . 13 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = 0R
2726oveq2i 5575 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R 0R)
28 0idsr 7076 . . . . . . . . . . . . 13 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
2910, 28ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R 0R) = 0R
3027, 29eqtri 2103 . . . . . . . . . . 11 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R
3119, 30syl6eq 2131 . . . . . . . . . 10 (𝑤R → ((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R)
32 mulcomsrg 7066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1RR𝑤R) → (1R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 1R))
3311, 32mpan 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (1R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 1R))
34 1idsr 7077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (𝑤 ·R 1R) = 𝑤)
3533, 34eqtrd 2115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (1R ·R 𝑤) = 𝑤)
3635oveq1d 5579 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R)) = (𝑤 +R (0R ·R 0R)))
37 00sr 7078 . . . . . . . . . . . . . 14 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
3810, 37ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13 (0R ·R 0R) = 0R
3938oveq2i 5575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 +R (0R ·R 0R)) = (𝑤 +R 0R)
40 0idsr 7076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (𝑤 +R 0R) = 𝑤)
4139, 40syl5eq 2127 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → (𝑤 +R (0R ·R 0R)) = 𝑤)
4236, 41eqtrd 2115 . . . . . . . . . 10 (𝑤R → ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R)) = 𝑤)
4331, 42opeq12d 3598 . . . . . . . . 9 (𝑤R → ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩ = ⟨0R, 𝑤⟩)
4414, 43eqtrd 2115 . . . . . . . 8 (𝑤R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨0R, 𝑤⟩)
459, 44syl5eq 2127 . . . . . . 7 (𝑤R → (i · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨0R, 𝑤⟩)
4645oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑤R → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩))
4746adantl 271 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩))
48 addcnsr 7134 . . . . . . 7 (((𝑧R ∧ 0RR) ∧ (0RR𝑤R)) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
4910, 48mpanl2 426 . . . . . 6 ((𝑧R ∧ (0RR𝑤R)) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
5010, 49mpanr1 428 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
51 0idsr 7076 . . . . . 6 (𝑧R → (𝑧 +R 0R) = 𝑧)
52 addcomsrg 7064 . . . . . . . 8 ((0RR𝑤R) → (0R +R 𝑤) = (𝑤 +R 0R))
5310, 52mpan 415 . . . . . . 7 (𝑤R → (0R +R 𝑤) = (𝑤 +R 0R))
5453, 40eqtrd 2115 . . . . . 6 (𝑤R → (0R +R 𝑤) = 𝑤)
55 opeq12 3592 . . . . . 6 (((𝑧 +R 0R) = 𝑧 ∧ (0R +R 𝑤) = 𝑤) → ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩ = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
5651, 54, 55syl2an 283 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩ = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
5747, 50, 563eqtrrd 2120 . . . 4 ((𝑧R𝑤R) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
58 vex 2613 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
59 opexg 4011 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ V ∧ 0RR) → ⟨𝑧, 0R⟩ ∈ V)
6058, 10, 59mp2an 417 . . . . 5 𝑧, 0R⟩ ∈ V
61 vex 2613 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
62 opexg 4011 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ V ∧ 0RR) → ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ V)
6361, 10, 62mp2an 417 . . . . 5 𝑤, 0R⟩ ∈ V
64 eleq1 2145 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ))
65 eleq1 2145 . . . . . . 7 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (𝑦 ∈ ℝ ↔ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ))
6664, 65bi2anan9 571 . . . . . 6 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ)))
67 oveq1 5571 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · 𝑦)))
68 oveq2 5572 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (i · 𝑦) = (i · ⟨𝑤, 0R⟩))
6968oveq2d 5580 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
7067, 69sylan9eq 2135 . . . . . . 7 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
7170eqeq2d 2094 . . . . . 6 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩))))
7266, 71anbi12d 457 . . . . 5 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))) ↔ ((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))))
7360, 63, 72spc2ev 2702 . . . 4 (((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩))) → ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
747, 57, 73syl2anc 403 . . 3 ((𝑧R𝑤R) → ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
75 r2ex 2391 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
7674, 75sylibr 132 . 2 ((𝑧R𝑤R) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)))
771, 3, 76optocl 4462 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354  Vcvv 2610  ⟨cop 3419  (class class class)co 5564  Rcnr 6619  0Rc0r 6620  1Rc1r 6621  -1Rcm1r 6622   +R cplr 6623   ·R cmr 6624  ℂcc 7111  ℝcr 7112  ici 7115   + caddc 7116   · cmul 7118 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-irdg 6040  df-1o 6086  df-2o 6087  df-oadd 6090  df-omul 6091  df-er 6194  df-ec 6196  df-qs 6200  df-ni 6626  df-pli 6627  df-mi 6628  df-lti 6629  df-plpq 6666  df-mpq 6667  df-enq 6669  df-nqqs 6670  df-plqqs 6671  df-mqqs 6672  df-1nqqs 6673  df-rq 6674  df-ltnqqs 6675  df-enq0 6746  df-nq0 6747  df-0nq0 6748  df-plq0 6749  df-mq0 6750  df-inp 6788  df-i1p 6789  df-iplp 6790  df-imp 6791  df-enr 7035  df-nr 7036  df-plr 7037  df-mr 7038  df-0r 7040  df-1r 7041  df-m1r 7042  df-c 7119  df-i 7122  df-r 7123  df-add 7124  df-mul 7125 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator