ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcnre GIF version

Theorem axcnre 7012
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 7052. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 6952 . 2 ℂ = (R × R)
2 eqeq1 2062 . . 3 (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐴 → (⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
322rexbidv 2366 . 2 (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
4 opelreal 6961 . . . . . 6 (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑧R)
5 opelreal 6961 . . . . . 6 (⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑤R)
64, 5anbi12i 441 . . . . 5 ((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ↔ (𝑧R𝑤R))
76biimpri 128 . . . 4 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ))
8 df-i 6955 . . . . . . . . 9 i = ⟨0R, 1R
98oveq1i 5549 . . . . . . . 8 (i · ⟨𝑤, 0R⟩) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩)
10 0r 6892 . . . . . . . . . 10 0RR
11 1sr 6893 . . . . . . . . . . 11 1RR
12 mulcnsr 6968 . . . . . . . . . . 11 (((0RR ∧ 1RR) ∧ (𝑤R ∧ 0RR)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
1310, 11, 12mpanl12 420 . . . . . . . . . 10 ((𝑤R ∧ 0RR) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
1410, 13mpan2 409 . . . . . . . . 9 (𝑤R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
15 mulcomsrg 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0RR𝑤R) → (0R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 0R))
1610, 15mpan 408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (0R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 0R))
17 00sr 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (𝑤 ·R 0R) = 0R)
1816, 17eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (0R ·R 𝑤) = 0R)
1918oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → ((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))))
20 00sr 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1RR → (1R ·R 0R) = 0R)
2111, 20ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1R ·R 0R) = 0R
2221oveq2i 5550 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
23 m1r 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1RR
24 00sr 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
2523, 24ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R 0R) = 0R
2622, 25eqtri 2076 . . . . . . . . . . . . 13 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = 0R
2726oveq2i 5550 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R 0R)
28 0idsr 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
2910, 28ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R 0R) = 0R
3027, 29eqtri 2076 . . . . . . . . . . 11 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R
3119, 30syl6eq 2104 . . . . . . . . . 10 (𝑤R → ((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R)
32 mulcomsrg 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1RR𝑤R) → (1R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 1R))
3311, 32mpan 408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (1R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 1R))
34 1idsr 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (𝑤 ·R 1R) = 𝑤)
3533, 34eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (1R ·R 𝑤) = 𝑤)
3635oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R)) = (𝑤 +R (0R ·R 0R)))
37 00sr 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
3810, 37ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . 13 (0R ·R 0R) = 0R
3938oveq2i 5550 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 +R (0R ·R 0R)) = (𝑤 +R 0R)
40 0idsr 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (𝑤 +R 0R) = 𝑤)
4139, 40syl5eq 2100 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → (𝑤 +R (0R ·R 0R)) = 𝑤)
4236, 41eqtrd 2088 . . . . . . . . . 10 (𝑤R → ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R)) = 𝑤)
4331, 42opeq12d 3584 . . . . . . . . 9 (𝑤R → ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩ = ⟨0R, 𝑤⟩)
4414, 43eqtrd 2088 . . . . . . . 8 (𝑤R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨0R, 𝑤⟩)
459, 44syl5eq 2100 . . . . . . 7 (𝑤R → (i · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨0R, 𝑤⟩)
4645oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑤R → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩))
4746adantl 266 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩))
48 addcnsr 6967 . . . . . . 7 (((𝑧R ∧ 0RR) ∧ (0RR𝑤R)) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
4910, 48mpanl2 419 . . . . . 6 ((𝑧R ∧ (0RR𝑤R)) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
5010, 49mpanr1 421 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
51 0idsr 6909 . . . . . 6 (𝑧R → (𝑧 +R 0R) = 𝑧)
52 addcomsrg 6897 . . . . . . . 8 ((0RR𝑤R) → (0R +R 𝑤) = (𝑤 +R 0R))
5310, 52mpan 408 . . . . . . 7 (𝑤R → (0R +R 𝑤) = (𝑤 +R 0R))
5453, 40eqtrd 2088 . . . . . 6 (𝑤R → (0R +R 𝑤) = 𝑤)
55 opeq12 3578 . . . . . 6 (((𝑧 +R 0R) = 𝑧 ∧ (0R +R 𝑤) = 𝑤) → ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩ = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
5651, 54, 55syl2an 277 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩ = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
5747, 50, 563eqtrrd 2093 . . . 4 ((𝑧R𝑤R) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
58 vex 2577 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
59 opexg 3991 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ V ∧ 0RR) → ⟨𝑧, 0R⟩ ∈ V)
6058, 10, 59mp2an 410 . . . . 5 𝑧, 0R⟩ ∈ V
61 vex 2577 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
62 opexg 3991 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ V ∧ 0RR) → ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ V)
6361, 10, 62mp2an 410 . . . . 5 𝑤, 0R⟩ ∈ V
64 eleq1 2116 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ))
65 eleq1 2116 . . . . . . 7 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (𝑦 ∈ ℝ ↔ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ))
6664, 65bi2anan9 548 . . . . . 6 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ)))
67 oveq1 5546 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · 𝑦)))
68 oveq2 5547 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (i · 𝑦) = (i · ⟨𝑤, 0R⟩))
6968oveq2d 5555 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
7067, 69sylan9eq 2108 . . . . . . 7 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
7170eqeq2d 2067 . . . . . 6 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩))))
7266, 71anbi12d 450 . . . . 5 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))) ↔ ((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))))
7360, 63, 72spc2ev 2665 . . . 4 (((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩))) → ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
747, 57, 73syl2anc 397 . . 3 ((𝑧R𝑤R) → ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
75 r2ex 2361 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
7674, 75sylibr 141 . 2 ((𝑧R𝑤R) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)))
771, 3, 76optocl 4443 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  wrex 2324  Vcvv 2574  cop 3405  (class class class)co 5539  Rcnr 6452  0Rc0r 6453  1Rc1r 6454  -1Rcm1r 6455   +R cplr 6456   ·R cmr 6457  cc 6944  cr 6945  ici 6948   + caddc 6949   · cmul 6951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-imp 6624  df-enr 6868  df-nr 6869  df-plr 6870  df-mr 6871  df-0r 6873  df-1r 6874  df-m1r 6875  df-c 6952  df-i 6955  df-r 6956  df-add 6957  df-mul 6958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator