ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axi2m1 GIF version

Theorem axi2m1 7155
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 7195. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1 ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 7041 . . . . . 6 0RR
2 1sr 7042 . . . . . 6 1RR
3 mulcnsr 7117 . . . . . 6 (((0RR ∧ 1RR) ∧ (0RR ∧ 1RR)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
41, 2, 1, 2, 3mp4an 418 . . . . 5 (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5 00sr 7060 . . . . . . . . 9 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 7 . . . . . . . 8 (0R ·R 0R) = 0R
7 1idsr 7059 . . . . . . . . . . 11 (1RR → (1R ·R 1R) = 1R)
82, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (1R ·R 1R) = 1R
98oveq2i 5574 . . . . . . . . 9 (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10 m1r 7043 . . . . . . . . . 10 -1RR
11 1idsr 7059 . . . . . . . . . 10 (-1RR → (-1R ·R 1R) = -1R)
1210, 11ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (-1R ·R 1R) = -1R
139, 12eqtri 2103 . . . . . . . 8 (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
146, 13oveq12i 5575 . . . . . . 7 ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15 addcomsrg 7046 . . . . . . . 8 ((0RR ∧ -1RR) → (0R +R -1R) = (-1R +R 0R))
161, 10, 15mp2an 417 . . . . . . 7 (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
17 0idsr 7058 . . . . . . . 8 (-1RR → (-1R +R 0R) = -1R)
1810, 17ax-mp 7 . . . . . . 7 (-1R +R 0R) = -1R
1914, 16, 183eqtri 2107 . . . . . 6 ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
20 00sr 7060 . . . . . . . . 9 (1RR → (1R ·R 0R) = 0R)
212, 20ax-mp 7 . . . . . . . 8 (1R ·R 0R) = 0R
22 1idsr 7059 . . . . . . . . 9 (0RR → (0R ·R 1R) = 0R)
231, 22ax-mp 7 . . . . . . . 8 (0R ·R 1R) = 0R
2421, 23oveq12i 5575 . . . . . . 7 ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
25 0idsr 7058 . . . . . . . 8 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
261, 25ax-mp 7 . . . . . . 7 (0R +R 0R) = 0R
2724, 26eqtri 2103 . . . . . 6 ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
2819, 27opeq12i 3595 . . . . 5 ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R
294, 28eqtri 2103 . . . 4 (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R
3029oveq1i 5573 . . 3 ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
31 addresr 7119 . . . 4 ((-1RR ∧ 1RR) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
3210, 2, 31mp2an 417 . . 3 (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R
33 m1p1sr 7051 . . . 4 (-1R +R 1R) = 0R
3433opeq1i 3593 . . 3 ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R
3530, 32, 343eqtri 2107 . 2 ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R
36 df-i 7104 . . . 4 i = ⟨0R, 1R
3736, 36oveq12i 5575 . . 3 (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
38 df-1 7103 . . 3 1 = ⟨1R, 0R
3937, 38oveq12i 5575 . 2 ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
40 df-0 7102 . 2 0 = ⟨0R, 0R
4135, 39, 403eqtr4i 2113 1 ((i · i) + 1) = 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3419  (class class class)co 5563  Rcnr 6601  0Rc0r 6602  1Rc1r 6603  -1Rcm1r 6604   +R cplr 6605   ·R cmr 6606  0cc0 7095  1c1 7096  ici 7097   + caddc 7098   · cmul 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-1o 6085  df-2o 6086  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-er 6193  df-ec 6195  df-qs 6199  df-ni 6608  df-pli 6609  df-mi 6610  df-lti 6611  df-plpq 6648  df-mpq 6649  df-enq 6651  df-nqqs 6652  df-plqqs 6653  df-mqqs 6654  df-1nqqs 6655  df-rq 6656  df-ltnqqs 6657  df-enq0 6728  df-nq0 6729  df-0nq0 6730  df-plq0 6731  df-mq0 6732  df-inp 6770  df-i1p 6771  df-iplp 6772  df-imp 6773  df-enr 7017  df-nr 7018  df-plr 7019  df-mr 7020  df-0r 7022  df-1r 7023  df-m1r 7024  df-c 7101  df-0 7102  df-1 7103  df-i 7104  df-add 7106  df-mul 7107
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator