ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axi2m1 GIF version

Theorem axi2m1 7006
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 7046. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1 ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 6892 . . . . . 6 0RR
2 1sr 6893 . . . . . 6 1RR
3 mulcnsr 6968 . . . . . 6 (((0RR ∧ 1RR) ∧ (0RR ∧ 1RR)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
41, 2, 1, 2, 3mp4an 411 . . . . 5 (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5 00sr 6911 . . . . . . . . 9 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 7 . . . . . . . 8 (0R ·R 0R) = 0R
7 1idsr 6910 . . . . . . . . . . 11 (1RR → (1R ·R 1R) = 1R)
82, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (1R ·R 1R) = 1R
98oveq2i 5550 . . . . . . . . 9 (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10 m1r 6894 . . . . . . . . . 10 -1RR
11 1idsr 6910 . . . . . . . . . 10 (-1RR → (-1R ·R 1R) = -1R)
1210, 11ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (-1R ·R 1R) = -1R
139, 12eqtri 2076 . . . . . . . 8 (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
146, 13oveq12i 5551 . . . . . . 7 ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15 addcomsrg 6897 . . . . . . . 8 ((0RR ∧ -1RR) → (0R +R -1R) = (-1R +R 0R))
161, 10, 15mp2an 410 . . . . . . 7 (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
17 0idsr 6909 . . . . . . . 8 (-1RR → (-1R +R 0R) = -1R)
1810, 17ax-mp 7 . . . . . . 7 (-1R +R 0R) = -1R
1914, 16, 183eqtri 2080 . . . . . 6 ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
20 00sr 6911 . . . . . . . . 9 (1RR → (1R ·R 0R) = 0R)
212, 20ax-mp 7 . . . . . . . 8 (1R ·R 0R) = 0R
22 1idsr 6910 . . . . . . . . 9 (0RR → (0R ·R 1R) = 0R)
231, 22ax-mp 7 . . . . . . . 8 (0R ·R 1R) = 0R
2421, 23oveq12i 5551 . . . . . . 7 ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
25 0idsr 6909 . . . . . . . 8 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
261, 25ax-mp 7 . . . . . . 7 (0R +R 0R) = 0R
2724, 26eqtri 2076 . . . . . 6 ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
2819, 27opeq12i 3581 . . . . 5 ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R
294, 28eqtri 2076 . . . 4 (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R
3029oveq1i 5549 . . 3 ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
31 addresr 6970 . . . 4 ((-1RR ∧ 1RR) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
3210, 2, 31mp2an 410 . . 3 (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R
33 m1p1sr 6902 . . . 4 (-1R +R 1R) = 0R
3433opeq1i 3579 . . 3 ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R
3530, 32, 343eqtri 2080 . 2 ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R
36 df-i 6955 . . . 4 i = ⟨0R, 1R
3736, 36oveq12i 5551 . . 3 (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
38 df-1 6954 . . 3 1 = ⟨1R, 0R
3937, 38oveq12i 5551 . 2 ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
40 df-0 6953 . 2 0 = ⟨0R, 0R
4135, 39, 403eqtr4i 2086 1 ((i · i) + 1) = 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3405  (class class class)co 5539  Rcnr 6452  0Rc0r 6453  1Rc1r 6454  -1Rcm1r 6455   +R cplr 6456   ·R cmr 6457  0cc0 6946  1c1 6947  ici 6948   + caddc 6949   · cmul 6951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-imp 6624  df-enr 6868  df-nr 6869  df-plr 6870  df-mr 6871  df-0r 6873  df-1r 6874  df-m1r 6875  df-c 6952  df-0 6953  df-1 6954  df-i 6955  df-add 6957  df-mul 6958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator