ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltirr GIF version

Theorem axpre-ltirr 6899
Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 6939. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltirr (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem axpre-ltirr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6848 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2 df-rex 2309 . . 3 (∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
31, 2bitri 173 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥(𝑥R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
4 id 19 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
54, 4breq12d 3773 . . 3 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 𝐴 < 𝐴))
65notbid 592 . 2 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
7 ltsosr 6792 . . . . 5 <R Or R
8 ltrelsr 6766 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
97, 8soirri 4680 . . . 4 ¬ 𝑥 <R 𝑥
10 ltresr 6858 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 𝑥 <R 𝑥)
119, 10mtbir 596 . . 3 ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R
1211a1i 9 . 2 (𝑥R → ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩)
133, 6, 12gencl 2583 1 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  wrex 2304  cop 3375   class class class wbr 3760  Rcnr 6338  0Rc0r 6339   <R cltr 6344  cr 6831   < cltrr 6836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3868  ax-sep 3871  ax-nul 3879  ax-pow 3923  ax-pr 3940  ax-un 4141  ax-setind 4230  ax-iinf 4272
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3577  df-int 3612  df-iun 3655  df-br 3761  df-opab 3815  df-mpt 3816  df-tr 3851  df-eprel 4022  df-id 4026  df-po 4029  df-iso 4030  df-iord 4074  df-on 4076  df-suc 4079  df-iom 4275  df-xp 4312  df-rel 4313  df-cnv 4314  df-co 4315  df-dm 4316  df-rn 4317  df-res 4318  df-ima 4319  df-iota 4828  df-fun 4865  df-fn 4866  df-f 4867  df-f1 4868  df-fo 4869  df-f1o 4870  df-fv 4871  df-ov 5476  df-oprab 5477  df-mpt2 5478  df-1st 5728  df-2nd 5729  df-recs 5881  df-irdg 5918  df-1o 5962  df-2o 5963  df-oadd 5966  df-omul 5967  df-er 6065  df-ec 6067  df-qs 6071  df-ni 6345  df-pli 6346  df-mi 6347  df-lti 6348  df-plpq 6385  df-mpq 6386  df-enq 6388  df-nqqs 6389  df-plqqs 6390  df-mqqs 6391  df-1nqqs 6392  df-rq 6393  df-ltnqqs 6394  df-enq0 6465  df-nq0 6466  df-0nq0 6467  df-plq0 6468  df-mq0 6469  df-inp 6507  df-i1p 6508  df-iplp 6509  df-iltp 6511  df-enr 6754  df-nr 6755  df-ltr 6758  df-0r 6759  df-r 6842  df-lt 6845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator