ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2 GIF version

Theorem bcn2 9788
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcn2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 8260 . . 3 2 ∈ ℕ
2 ibcval5 9787 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) / (!‘2)))
31, 2mpan2 416 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) / (!‘2)))
4 2m1e1 8223 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
54oveq2i 5554 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1)
6 nn0cn 8365 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
7 2cn 8177 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
8 ax-1cn 7131 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
9 npncan 7396 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
107, 8, 9mp3an23 1261 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
116, 10syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
125, 11syl5eqr 2128 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
13 iseqeq1 9524 . . . . . 6 (((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1) → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ) = seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ))
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ) = seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ))
1514fveq1d 5211 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘𝑁))
16 nn0z 8452 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
17 peano2zm 8470 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
19 uzid 8714 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
2016, 19syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
21 npcan 7384 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
226, 8, 21sylancl 404 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2322fveq2d 5213 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
2420, 23eleqtrrd 2159 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
25 eluzelcn 8711 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
27 fvi 5262 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
2827eleq1d 2148 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (( I ‘𝑥) ∈ ℂ ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
2928ibir 175 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
3026, 29syl 14 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → ( I ‘𝑥) ∈ ℂ)
31 mulcl 7162 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3231adantl 271 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3318, 24, 30, 32iseqm1 9543 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
3418, 30, 32iseq1 9533 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
35 fvi 5262 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
3618, 35syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
3734, 36eqtrd 2114 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
38 fvi 5262 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘𝑁) = 𝑁)
3937, 38oveq12d 5561 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
4033, 39eqtrd 2114 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
41 subcl 7374 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
426, 8, 41sylancl 404 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4342, 6mulcomd 7202 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
4440, 43eqtrd 2114 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
4515, 44eqtrd 2114 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
46 fac2 9755 . . . 4 (!‘2) = 2
4746a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘2) = 2)
4845, 47oveq12d 5561 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I , ℂ)‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
493, 48eqtrd 2114 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434   I cid 4051  cfv 4932  (class class class)co 5543  cc 7041  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048  cmin 7346   / cdiv 7827  cn 8106  2c2 8156  0cn0 8355  cz 8432  cuz 8700  seqcseq 9521  !cfa 9749  Ccbc 9771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-fz 9106  df-iseq 9522  df-fac 9750  df-bc 9772
This theorem is referenced by:  bcp1m1  9789
  Copyright terms: Public domain W3C validator