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Theorem bcpasc 9634
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers 𝐾. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcpasc ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))

Proof of Theorem bcpasc
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 8279 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 elfzp12 9063 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
3 nn0uz 8603 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleq2s 2148 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
51, 4syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
6 1p0e1 8105 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
7 bcn0 9623 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)
8 0z 8313 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
9 1z 8328 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
10 zsubcl 8343 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
118, 9, 10mp2an 410 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) ∈ ℤ
12 0re 7085 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
13 ltm1 7887 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
1412, 13ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 (0 − 1) < 0
1514orci 660 . . . . . . . . . 10 ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))
16 bcval4 9620 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))) → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
1711, 15, 16mp3an23 1235 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
187, 17oveq12d 5558 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = (1 + 0))
19 bcn0 9623 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C0) = 1)
201, 19syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C0) = 1)
216, 18, 203eqtr4a 2114 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = ((𝑁 + 1)C0))
22 oveq2 5548 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝑁C𝐾) = (𝑁C0))
23 oveq1 5547 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝐾 − 1) = (0 − 1))
2423oveq2d 5556 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝑁C(𝐾 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
2522, 24oveq12d 5558 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))))
26 oveq2 5548 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁 + 1)C0))
2725, 26eqeq12d 2070 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 → (((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾) ↔ ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = ((𝑁 + 1)C0)))
2821, 27syl5ibrcom 150 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
29 simpr 107 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
30 0p1e1 8104 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3130oveq1i 5550 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
3229, 31syl6eleq 2146 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
33 nn0p1nn 8278 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
34 nnuz 8604 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
3533, 34syl6eleq 2146 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
36 fzm1 9064 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
3736biimpa 284 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
3835, 37sylan 271 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
39 nn0cn 8249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
40 ax-1cn 7035 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
41 pncan 7280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4239, 40, 41sylancl 398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4342oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
4443eleq2d 2123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ↔ 𝐾 ∈ (1...𝑁)))
4544biimpa 284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
46 1eluzge0 8612 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ (ℤ‘0)
47 fzss1 9028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
4846, 47ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
4948sseli 2969 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
50 bcp1n 9629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
52 bcrpcl 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
5349, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 8722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
55 elfzuz2 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
5655, 34syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5756peano2nnd 8005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5857nncnd 8004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5956nncnd 8004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
60 1cnd 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
61 elfzelz 8992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
6261zcnd 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
6359, 60, 62addsubd 7406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁𝐾) + 1))
64 fznn0sub 9022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
65 nn0p1nn 8278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
6763, 66eqeltrd 2130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
6867nncnd 8004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
6967nnap0d 8035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) # 0)
7054, 58, 68, 69div12apd 7876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
7167nnrpd 8719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ+)
7253, 71rpdivcld 8738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ+)
7372rpcnd 8722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
7458, 73mulcomd 7106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7570, 74eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7658, 62npcand 7389 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾) = (𝑁 + 1))
7776oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7873, 68, 62adddid 7109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾)) = ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)))
7975, 77, 783eqtr2d 2094 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)))
8054, 68, 69divcanap1d 7841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (𝑁C𝐾))
81 elfznn 9020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
8281nnap0d 8035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 # 0)
8354, 68, 62, 69, 82divdivap2d 7872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) · 𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
84 bcm1k 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
8559, 62, 60subsub3d 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
8685oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾))
8786oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)))
8884, 87eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)))
89 fzelp1 9038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
9057nnzd 8418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
91 elfzm1b 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
9261, 90, 91syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
9389, 92mpbid 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)))
9459, 40, 41sylancl 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9594oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
9693, 95eleqtrd 2132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
97 bcrpcl 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℝ+)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℝ+)
9998rpcnd 8722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
10081nnrpd 8719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ+)
10171, 100rpdivcld 8738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ∈ ℝ+)
102101rpcnd 8722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ∈ ℂ)
10368, 62, 69, 82divap0d 7856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) # 0)
10454, 99, 102, 103divmulap3d 7874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (𝑁C(𝐾 − 1)) ↔ (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾))))
10588, 104mpbird 160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (𝑁C(𝐾 − 1)))
10654, 62, 68, 69div23apd 7877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · 𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾))
10783, 105, 1063eqtr3rd 2097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾) = (𝑁C(𝐾 − 1)))
10880, 107oveq12d 5558 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)) = ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))))
10951, 79, 1083eqtrrd 2093 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
11045, 109syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
111 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
11233nnzd 8418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
113 nn0re 8248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
114113ltp1d 7971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < (𝑁 + 1))
115114olcd 663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
116 bcval4 9620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
117112, 115, 116mpd3an23 1245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
118111, 117sylan9eqr 2110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C𝐾) = 0)
119 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = (𝑁 + 1) → (𝐾 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
120119, 42sylan9eqr 2110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝐾 − 1) = 𝑁)
121120oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = (𝑁C𝑁))
122 bcnn 9625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
123122adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C𝑁) = 1)
124121, 123eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 1)
125118, 124oveq12d 5558 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = (0 + 1))
126 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)))
127 bcnn 9625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)) = 1)
1281, 127syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)) = 1)
129126, 128sylan9eqr 2110 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 1)
13030, 125, 1293eqtr4a 2114 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
131110, 130jaodan 721 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
13238, 131syldan 270 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
13332, 132syldan 270 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
134133ex 112 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
13528, 134jaod 647 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
1365, 135sylbid 143 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
137136imp 119 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
138137adantlr 454 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
139 00id 7215 . . 3 (0 + 0) = 0
140 fzelp1 9038 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140con3i 572 . . . . 5 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
142 bcval3 9619 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
1431423expa 1115 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
144141, 143sylan2 274 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝐾) = 0)
145 simpll 489 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
146 simplr 490 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
147 peano2zm 8340 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
148146, 147syl 14 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
14939adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
150149, 40, 41sylancl 398 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
151150oveq2d 5556 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
152151eleq2d 2123 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁)))
153 id 19 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
1541nn0zd 8417 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
155153, 154, 91syl2anr 278 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
156 fzp1ss 9037 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
1578, 156ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
15831, 157eqsstr3i 3004 . . . . . . . . 9 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
159158sseli 2969 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
160155, 159syl6bir 157 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
161152, 160sylbird 163 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
162161con3dimp 574 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ¬ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
163 bcval3 9619 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 0)
164145, 148, 162, 163syl3anc 1146 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 0)
165144, 164oveq12d 5558 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = (0 + 0))
166145, 1syl 14 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
167 simpr 107 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
168 bcval3 9619 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 0)
169166, 146, 167, 168syl3anc 1146 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 0)
170139, 165, 1693eqtr4a 2114 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
171 simpr 107 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
172 0zd 8314 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
173112adantr 265 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
174 fzdcel 9006 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
175 exmiddc 755 . . . 4 (DECID 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
176174, 175syl 14 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
177171, 172, 173, 176syl3anc 1146 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
178138, 170, 177mpjaodan 722 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  DECID wdc 753  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wss 2945   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952   < clt 7119  cmin 7245   / cdiv 7725  cn 7990  0cn0 8239  cz 8302  cuz 8569  +crp 8681  ...cfz 8976  Ccbc 9615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-fz 8977  df-iseq 9376  df-fac 9594  df-bc 9616
This theorem is referenced by:  bccl  9635  bcn2m1  9637  bcn2p1  9638  ex-bc  10282
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